Notion de fonction

Connaître les différents modes de représentation d’une fonction : expression littérale, représentation graphique, …
Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation.
Déterminer graphiquement le signe d’une fonction ou son tableau de variations.
Exploiter une équation de courbe (appartenance d’un point, calcul de coordonnées).

Image, antécédent

Définition

Soit $D$ un ensemble de nombres réels. Définir une fonction $f$ sur $D$ revient à associer à chaque réel $a$ de $D$ un unique réel, noté $f (a)$ , et appelé image de $a$ par la fonction $f$ .

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On dit également que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$ .

Notation

Pour une fonction $f$ , à un nombre $x$ , on fait correspondre le nombre $f (x)$ (lire $f$ de $x$ ). On note $f : x \mapsto f (x)$ . Attention donc à ne pas confondre $f$ et $f (x)$ : $f$ est une fonction, mais $f (x)$ est un nombre.

On considère la fonction $f : x \mapsto - 5 x + 7$ .

Compléter le tableau de valeurs suivant.

Nombre $x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

Image $f (x)$
En utilisant le tableau, répondre aux questions suivantes.
1. Que vaut $f (- 2)$ ?
2. Donner un antécédent de $7$ par la fonction $f$ .
3. Quelle est l’image de $1$ par la fonction $f$ ?

Complétons le tableau en calculant.

Nombre $x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

Image $f (x)$ $17$ $12$ $7$ $2$ $- 3$
D’après le tableau ci-dessus :
1. $f (- 2) = 17$
2. Un antécédent de $7$ par la fonction $f$ est $0$ .
3. L’image de $1$ par la fonction $f$ est $2$ .

Nombre $x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
Image $f (x)$	$17$	$12$	$7$	$2$	$- 3$

Remarque

Un nombre ne peut avoir qu’une seule image par une fonction $f$ ; et un nombre peut avoir plusieurs ou aucun antécédents par $f$ .

On considère la fonction carré $f : x \mapsto x^{2}$ .

Donner tous les antécédents de $4$ par la fonction $f$ .
Est-ce que $- 9$ peut avoir un antécédent par la fonction $f$ ? Justifier.

Les antécédents de $4$ par la fonction $f$ sont $- 2$ et $2$ .
$- 9$ ne peut pas avoir d’antécédent par la fonction $f$ car celle-ci ne prend que des valeurs positive (en effet, le carré d’un nombre est positif).

Représentation graphique

Tracer la représentation graphique d’une fonction

Définition

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x; f (x))$ . Cette représentation graphique est également appelée courbe représentative de la fonction $f$ .

Le but de cet exercice est de tracer la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto 0, 5 x^{2}$ .

Est-ce que le point $A (2, - 1)$ appartient à la courbe représentative de $f$ ? Justifier.
Compléter le tableau de valeurs suivant.

Nombre $x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$

Image $f (x)$
Dans le repère ci-dessous, placer les points de coordonnées $(x; f (x))$ donnés par le tableau. Puis, les relier pour tracer $C_{f}$ , la courbe représentative de $f$ .

$f (2) = 0, 5 \times 4 = 2$ . Donc $f (2) \neq = - 1$ : $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$ .
Complétons le tableau en calculant.

Nombre $x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$

Image $f (x)$ $4, 5$ $2$ $0, 5$ $0$ $0, 5$ $2$ $4, 5$
Plaçons les points de coordonnées $(x; f (x))$ donnés par le tableau. et relions ces points.

Nombre $x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
Image $f (x)$	$4, 5$	$2$	$0, 5$	$0$	$0, 5$	$2$	$4, 5$

Exploiter la représentation graphique d’une fonction

Méthode

Pour déterminer graphiquement l’image d’un nombre $x$ , on place $x$ sur l’axe des abscisses et on lit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.
Pour déterminer graphiquement les antécédents d’un nombre $y$ , on place $y$ sur l’axe des ordonnées et on lit les abscisses des points de la courbe correspondants.

On a tracé ci-contre la courbe représentative $C_{f}$ d’une fonction $f$ .

Déterminer graphiquement l’image des nombres suivants par la fonction $f$ .
- $2$ :
- $0$ :
Déterminer graphiquement un antécédent de $1$ par la fonction $f$ .

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Par lecture graphique :
- L’image de $2$ par $f$ est $1, 41$ environ.
- L’image de $0$ par $f$ est $0$ .
Par lecture graphique, un antécédent de $1$ par $f$ est $1$ .

Méthodes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $k$ un nombre réel.

Pour résoudre graphiquement l’équation $f (x) = k$ , on cherche l’abscisse des points de la courbe représentative de $f$ qui ont pour ordonnée le réel $k$ .
Pour résoudre graphiquement l’équation $f (x) = g (x)$ , on cherche l’abscisse des points d’intersection des courbes représentatives de $f$ et de $g$ .

Avec des techniques similaires, on peut résoudre des inéquations du type $f (x) \leq k$ , $f (x) < g (x)$ , …

On a tracé ci-contre les courbes représentatives de $f : x \mapsto - 0, 5 x^{3} + 4, 67 x^{2} - 12, 5 x + 9, 33$ et $g : x \mapsto - 0, 33 x^{2} + 2 x - 0, 67$ .

Résoudre graphiquement l’équation $f (x) = 1$ .
Résoudre graphiquement l’équation $- 0, 33 x^{2} + 2 x - 0, 67 = 3$ .
Résoudre graphiquement l’équation $f (x) = g (x)$ .
Résoudre graphiquement l’inéquation $g (x) \geq 2$ .
Résoudre graphiquement l’inéquation $f (x) < g (x)$ .

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Il faut considérer la courbe représentative de la fonction $f$ . On trace la droite horizontale d’ordonnée $1$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S = {1; 3, 3; 5}$ .
Il faut considérer la courbe représentative de la fonction $g$ . On trace la droite horizontale d’ordonnée $3$ .

Il n’y a pas de point d’intersection, donc $S = \emptyset$ .
Il faut considérer les courbes représentatives des deux fonctions $f$ et $g$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S = {1; 4; 5}$ .
Il s’agit ici de regarder le domaine où la courbe représentative de $g$ est au-dessus de $2$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S = [2; 4]$ .
Il s’agit ici de regarder le domaine où la courbe représentative de $f$ est strictement en-dessous de celle de $g$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S =] 1; 4 [\cup] 5; 5, 5]$ .

Études de fonctions

Parité

Définitions

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D$ .

On dit que $f$ est paire si pour tout $x \in D$ , on a $- x \in D$ et $f (- x) = f (x)$ .
On dit que $f$ est impaire si pour tout $x \in D$ , on a $- x \in D$ et $f (- x) = - f (x)$ .

Propriétés

Dans un repère orthogonal :

la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Représenter graphiquement sur $[- 3; 3]$ la fonction $f : x \mapsto x^{2}$ dans le repère ci-contre.
Représenter de même la fonction $g : x \mapsto x^{3}$ .
Que peut-on en déduire ?

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$f$ est paire (car sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) et $g$ est impaire (car sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère).

Signe

Définition

Étudier le signe d’une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ revient à déterminer le signe des images $f (x)$ en fonction de $x \in D$ . On présente souvent ces résultats dans un tableau de signes.

Le tableau de signes de la fonction $g$ de l’exercice précédent sur l’intervalle $[- 3, 3]$ est construit ci-contre.

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Propriété

On peut obtenir le signe d’un produit à partir du signe de ses facteurs en appliquant la règle des signes. On peut obtenir de même le signe d’un quotient à partir du signe de son numérateur et de son dénominateur.

1. Résoudre l’inéquation $2 x + 4 > 0$ pour $x \in R$ .
2. En déduire le signe de $2 x + 4$ sur $R$ .
Étudier le signe de $- x + 3$ sur $R$ .
1. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $f : x \mapsto (2 x + 4) (- x + 3)$ sur $R$ .
2. Quel est le signe de $f (- 1)$ ?
Étudier de même le signe de la fonction $g : x \mapsto \frac{2 x + 4}{- x + 3}$ sur $R$ .

1. $⟺ ⟺ ⟺ 2 x + 4 > 0 2 x > - 4 x > - \frac{4}{2} x > - 2$ On a $S =] - 2; + \infty [$ .
2. On en déduit le tableau de signes suivant :
Il suffit de faire comme dans la question précédente. On commence par résoudre $- x + 3 > 0$ pour $x \in R$ : $⟺ ⟺ - x + 3 > 0 - x > - 3 x < 3$ On a $S =] - \infty; 3 [$ . On en déduit le tableau de signes suivant :
1. Il suffit de combiner les deux tableaux de signes, puis d’appliquer la règle des signes.
2. $- 1 \in] - 2; 3 [$ , donc $f (- 1) > 0$ .
Il suffit encore de combiner les deux tableaux de signes, puis d’appliquer la règle des signes. Attention, ici $3$ est valeur interdite du quotient.

Variations

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . $f$ est dite :

croissante sur $I$ si, lorsque $x$ augmente, alors $f (x)$ augmente ;
décroissante sur $I$ si, lorsque $x$ augmente, alors $f (x)$ diminue ;
constante sur $I$ si elle garde la même valeur sur $I$ ;
monotone sur $I$ si $f$ est croissante ou décroissante sur $I$ .

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Étudier les variations de $f$ revient à déterminer comment $f$ croît ou décroît sur $I$ . On présente souvent ces résultats dans un tableau de variations.

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Voici le tableau de variations sur $[0; 4]$ de la fonction $f$ dont la courbe représentative est tracée ci-contre.

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On a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ ci-contre.

Dresser son tableau de variations sur l’intervalle $[- 2; 2]$ .
Comparer les nombres $f (1)$ et $f (1, 2)$ en justifiant.

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Voici le tableau de variations de la fonction.
Les nombres $1$ et $1, 2$ appartiennent tous deux à l’intervalle $[1; 2]$ . Or, $f$ est décroissante sur cet intervalle. Donc, $f (1) \geq f (1, 2)$ .

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Le maximum de $f$ est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur $I$ ; et le minimum de $f$ est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur $I$ .

Déterminer le maximum de la fonction $f$ précédente sur $[- 2; 2]$ .

D’après la représentation graphique de la fonction $f$ , son maximum est atteint en $- 1$ et vaut $f (- 1) = 3$ .