Probabilités conditionnelles

Découvrir la notion de probabilité conditionnelle.
Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
Travailler avec la probabilité associée à une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.
Représenter par un arbre de probabilités une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes et déterminer les probabilités des événements associés aux différents chemins.

Probabilités

Vocabulaire

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont les différents résultats possibles appelés issues sont connus mais dont on ne sait pas, a priori, lequel va se produire. L’ensemble des issues forme l’univers de l’expérience.
La probabilité d’une issue est un nombre compris entre $0$ et $1$ , qui peut s’interpréter comme la proportion de chances d’obtenir cette issue.

On dit que les issues d’une expérience sont équiprobables si elles ont la même probabilité.
Un événement désigne un ensemble d’issues. Si le résultat de l’expérience aléatoire est une des issues de l’événement, on dit que l’événement est réalisé. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Les issues sont :

Obtenir $1$ .
Obtenir $2$ .
Obtenir $3$ .
Obtenir $4$ .
Obtenir $5$ .
Obtenir $6$ .

Chacune de ces issues à une probabilité de $\frac{1}{6}$ de se produire : il s’agit donc d’une situation d’équiprobabilité. Soit $A$ l’événement Obtenir un nombre pair. Alors, on peut calculer la probabilité de $A$ , notée $P (A)$ : $P (A) = \frac{1}{6} Probabilit \overset{e}{ˊ} d’obtenir 2 + \frac{1}{6} Probabilit \overset{e}{ˊ} d’obtenir 4 + \frac{1}{6} Probabilit \overset{e}{ˊ} d’obtenir 6 = \frac{1}{2}$

Dans un sac se trouvent trois boules : une blanche, une bleue et une rouge. On en tire une au hasard.

Compléter le tableau ci-dessous en écrivant les issues possibles dans la première colonne et la probabilité correspondante dans la deuxième.

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche $\frac{1}{3}$

Tirer la boule bleue $\frac{1}{3}$

Tirer la boule rouge $\frac{1}{3}$
A-t-on une situation d’équiprobabilité ?
Que vaut la somme des probabilités de la deuxième colonne ?
Quelle est la probabilité de l’événement Tirer une boule colorée ?

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule bleue	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule rouge	$\frac{1}{3}$

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche $\frac{1}{3}$

Tirer la boule bleue $\frac{1}{3}$

Tirer la boule rouge $\frac{1}{3}$
Oui : chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
Elle vaut $1$ d’après la propriété précédente. Cela peut se vérifier facilement : $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ .
On note $A$ l’événement Tirer une boule colorée. Alors : $P (A) = probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule bleue” \frac{1}{3} + probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule rouge” \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule bleue	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule rouge	$\frac{1}{3}$

Union et intersection d’événements

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements.

L’événement constitué des issues appartenant à $A$ et à $B$ est noté $A \cap B$ .
L’événement constitué des issues appartenant à $A$ ou à $B$ est noté $A \cup B$ .

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux événements. Alors, $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Un vendeur ambulant vend des fleurs rouges et jaunes de deux sortes. Il dispose de $15$ roses rouges et $12$ jaunes ainsi que de $20$ tulipes rouges et $22$ jaunes. Il propose au hasard une fleur à un client. On considère les événements suivants :

$J$ : La fleur proposée est jaune.
$T$ : La fleur proposée est une tulipe.

Déterminer les probabilités suivantes.
1. $P (J) =$
2. $P (T) =$
3. $P (\overline{J}) =$
4. $P (\overline{T}) =$
Décrire les événements $T \cap J$ et $T \cup J$ , puis déterminer leur probabilité.

Il y a $69$ fleurs en tout.
1. $P (J) = \frac{12}{69} + \frac{22}{69} = \frac{34}{69}$
2. $P (T) = \frac{20}{69} + \frac{22}{69} = \frac{42}{69}$
3. $P (\overline{J}) = 1 - P (J) = \frac{35}{69}$
4. $P (\overline{T}) = 1 - P (T) = \frac{25}{69}$
$T \cap J$ désigne l’événement La fleur proposée est une tulipe jaune et $T \cup J$ désigne l’événement La fleur proposée est une tulipe ou est jaune. On a
- $P (T \cap J) = \frac{22}{69}$
- $P (T \cup J) = P (T) + P (J) - P (T \cap J) = \frac{42}{69} + \frac{34}{69} - \frac{22}{69} = \frac{54}{69}$

Événement contraire

Définition

Soit $A$ un événement. On appelle événement contraire de $A$ , l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$ . On le note $\overline{A}$ .

Propriété

Soit $A$ un événement. Alors, $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

Le jeu de cartes français est un jeu de $54$ cartes organisées en quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Il comporte $52$ cartes à jouer réparties en quatre familles de treize, plus deux jokers.

On dispose d’un tel jeu, et on tire au hasard une carte.

Quelle est la probabilité que cette carte soit un Roi ?
Quelle est la probabilité que cette carte ne soit pas un cœur ?

Dans un tel jeu de cartes, il y a quatre Rois. Donc, la probabilité de tirer un roi est de $\frac{4}{54}$ .
Les différentes couleurs trèfle, carreau, cœur et pique sont équitablement réparties à travers $52$ cartes du jeu (les $54$ moins les deux jokers). Donc, il y a $\frac{52}{4} = 13$ cœurs.

Notons $C$ l’événement Tirer un cœur. Alors : $P (C) = \frac{13}{54}$ D’où : $P (\overline{C}) = 1 - \frac{13}{54} = \frac{41}{54}$

Conditionnement

Probabilité conditionnelle

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements. On suppose $A$ non vide. $P_{A} (B)$ désigne la probabilité que l’événement $B$ soit réalisé sachant que $A$ est réalisé. On dit que c’est une probabilité conditionnelle.

Remarque

Il faut faire attention, à bien faire la distinction entre une probabilité conditionnelle (ie. Sachant qu’on a $A$ , quelle est la probabilité d’avoir $B$ ?) et une intersection (ie. Quelle est la probabilité d’avoir $A$ et $B$ à la fois ?).

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux événements. On note $card (A)$ le nombre d’issues qui réalisent l’événement $A$ . Alors, on a $P_{A} (B) = \frac{card ( A \cap B )}{card ( A )}$

On donne ci-dessous la répartition des spectateurs sur une journée dans une salle de cinéma selon les séances et le tarif.

$(X; Y)$	Plein tarif	Demi tarif	Total
Séance du matin	$103$	$91$	$204$
Séance du soir	$280$	$26$	$306$
Total	$383$	$117$	$500$

On choisit un de ces spectateurs au hasard et on considère les événements :

$M$ : La personne a assisté à la séance du matin.
$D$ : La personne a payé demi-tarif.

Déterminer $P_{\overline{D}} (M)$ .
Déterminer $P_{M} (\overline{D})$ .
Donner une interprétation de ces deux probabilités dans le contexte de l’exercice.

$P_{\overline{D}} (M) = \frac{103}{383}$ car parmi les $383$ personnes ayant payé plein tarif, $103$ sont venus le matin.
$P_{M} (\overline{D}) = \frac{103}{204}$ car parmi les $204$ venues le matin, $103$ ont payé plein tarif.
En ayant choisi un spectateur au hasard :
- $P_{\overline{D}} (M)$ désigne la probabilité qu’il soit venu le matin en sachant qu’il a payé plein tarif ;
- $P_{M} (\overline{D})$ désigne la probabilité qu’il ait payé plein tarif en sachant qu’il est venu le matin.

Indépendance

Définition

On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P (B) = P_{A} (B)$ . En réalisant successivement deux expériences aléatoires telles que les événements associés à la première soient indépendants des événements associés à la seconde, on dit que l’on réalise une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.

Concrètement, la définition précédente signifie que :

deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’a pas d’influence sur celle de l’autre ;
deux épreuves sont indépendantes si le résultat de l’une n’a pas d’influence sur celui de l’autre.

Une urne contient deux boules blanches et trois boules rouges. On tire une première boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne. On en fait de même avec une deuxième boule.

On note :

$B_{1}$ l’événement la première boule est blanche et $B_{2}$ l’événement la deuxième boule est blanche. On a donc $P (B_{1}) = P (B_{2}) = \frac{2}{5}$ .
$R_{1}$ l’événement la première boule est rouge et $R_{2}$ l’événement la deuxième boule est rouge. On a donc $P (R_{1}) = P (R_{2}) = \frac{3}{5}$ .

C’est une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes que l’on peut représenter par l’arbre ci-contre.

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La probabilité de tirer deux boules blanches est donnée en suivant les branches de l’arbre, et en multipliant les probabilités rencontrées : $P (B_{1} \cap B_{2}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$ . Mais, on a $P_{B_{1}} (B_{2}) = \frac{2}{5}$ .

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. On note $P_{i}$ l’événement obtenir Pile au $i$ -ième lancer, et $F_{i}$ l’événement obtenir Face au $i$ -ième lancer.

Représenter cette expérience aléatoire dans un arbre de probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir une fois Face et une fois Pile ?
1. Quelle est la probabilité d’obtenir Pile au deuxième lancer sachant qu’on a déjà obtenu Pile ?
2. A-t-on indépendance ?

Notons $A$ l’événement obtenir une fois Face et une fois Pile. Alors : $P (A) = P (P_{1} \cap F_{2}) + P (F_{1} \cap P_{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
1. On a : $P_{P_{1}} (P_{2}) = \frac{1}{2}$
2. Oui : le résultat de la seconde épreuve ne dépend pas du résultat de la première.