Proportions et évolutions

Exploiter la relation entre effectifs, proportions et pourcentages.
Traiter des situations simples mettant en jeu des pourcentages de pourcentages.
Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur taux d’évolution.
Calculer le taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs. Calculer un taux d’évolution réciproque.

Proportions

Différentes écritures

Définition

Soit $E$ un ensemble et soit $A$ un sous-ensemble de $E$ (ie. $A \subset E$ ). On note $n_{A}$ le nombre d’éléments de $A$ et $n_{E}$ le nombre d’éléments de $E$ . Alors, la proportion d’éléments de $A$ dans $E$ est le nombre $p = \frac{n _{A}}{n _{E}}$

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Remarque

On a $p \in [0, 1]$ . On peut l’écrire sous différentes formes : fractionnaire, décimale ou comme pourcentage.

Parmi les $32057325$ voix exprimées au cours du second tour de l’élection présidentielle de $2022$ , le candidat arrivé en tête a recueilli $18768639$ voix. Quelle proportion de voix a-t-il recueilli ? L’exprimer sous forme fractionnaire, puis sous forme de pourcentage.

On fait le calcul. $p = \frac{18768639}{32057325} = 0, 58547115206$ En l’écrivant sous forme d’un pourcentage, on obtient $p \approx 58, 55$ %.

Proportions de proportions

Propriété

Soient $E$ , $A$ et $B$ trois ensembles emboîtés (ie. $B \subset A \subset E$ ). On note $p_{1}$ la proportion d’éléments de $A$ dans $E$ et $p_{2}$ la proportion d’éléments de $B$ dans $A$ . Alors, la proportion d’éléments de $B$ dans $E$ est $p = p_{1} \times p_{2}$

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Un pays décide de vacciner sa population contre une maladie. La population est divisée en deux grands groupes : les jeunes ( $60$ % de la population) et les personnes âgées ( $40$ % de la population). Dans chaque groupe, il y a une certaine proportion de personnes qui reçoivent le vaccin.

$75$ % des jeunes se vaccinent contre la maladie ;
$90$ % des personnes âgées se vaccinent contre la maladie.

Quelle proportion de la population est jeune et vaccinée ?
Quelle proportion de la population est âgée et vaccinée ?
Quelle proportion de la population est vaccinée ?

$0, 60 \times 0, 75 = 0, 45$ $45$ % de la population est jeune et vaccinée.
$0, 40 \times 0, 9 = 0, 36$ $36$ % de la population est âgée et vaccinée.
$0, 45 + 0, 36 = 0, 81$ $81$ % de la population est vaccinée.

Évolutions

Coefficients multiplicateurs

Propriété

Augmenter un nombre de $t$ %, c’est le multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ .
Diminuer un nombre de $t$ %, c’est le multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ .

Ces deux nombres sont appelés coefficients multiplicateurs.

Une célèbre console de jeux est généralement vendue $550$ €. Pendant les soldes d’été, elle est soldée à hauteur de $30$ %. Quel est son nouveau prix ?

$550 \times (1 - \frac{30}{100}) = 385$ Son nouveau prix est $385$ €.

Variations absolues et relatives

Définition

Soit une quantité passant d’une valeur $V_{0}$ à une valeur $V_{1}$ .

La variation absolue est le nombre $V_{1} - V_{0}$ .
La variation relative (ou taux d’évolution) est le nombre $\frac{V _{1} - V _{0}}{V _{0}}$ .

Ces nombres sont positifs lors d’une hausse, et négatifs lors d’une baisse.

Dans une entreprise, un employé a un salaire mensuel de $1500$ € en 2023. En 2024, il décide de passer à temps partiel et son salaire mensuel passe à $1200$ €.

La variation absolue de son salaire est de $1200 € - 1500 € = - 300$ €.
La variation relative de son salaire est de $\frac{1200 - 1500}{1500} = - 0, 2$ , soit $- 20$ %. Son salaire a baissé de $20$ %.

Remarque

À partir du coefficient multiplicateur, on peut trouver directement le taux d’évolution. En notant $c$ le coefficient multiplicateur, $c - 1$ donne le taux d’évolution sous forme décimale.

La ville de Caen comptait $108000$ habitants en 2024 contre $107250$ en 2023.

Calculer la variation absolue de cette évolution.
Calculer la variation relative de cette évolution, et exprimer le résultat en pourcentages en arrondissant au dixième près.
Quel est le coefficient multiplicateur de cette évolution ?

$108000 - 107250$ La variation absolue est de $750$ habitants.
$\frac{108000 - 107250}{107250} = 0, 00699300699 \approx 0, 007$ La variation relative est d’environ $0, 7$ %.
Soit $c$ le coefficient multiplicateur de cette évolution. Alors, $c - 1 = 0, 00699300699 ⟺ c = 1 + 0, 00699300699 = 1, 00699300699$ Le coefficient multiplicateur de cette évolution est $1, 00699300699$ .

Évolutions successives

Proposition

Soit une quantité passant d’une valeur $V_{0}$ à une valeur $V_{1}$ , puis à une valeur $V_{2}$ . Alors, le coefficient multiplicateur global de l’évolution est $c = c_{1} \times c_{2}$

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où $c_{1}$ est le coefficient multiplicateur de la première évolution et $c_{2}$ est le coefficient multiplicateur de la seconde évolution. Le taux d’évolution global est alors égal à $c - 1$ .

Le nombre d’abonnés au journal l’Équipe a augmenté de $6, 3$ % entre 2022 et 2023, puis a diminué de $5, 2$ % entre 2023 et 2024.

Calculer le coefficient multiplicateur global de l’évolution.
Calculer le taux d’évolution global.

Le nombre d’abonnés est d’abord multiplié par $c_{1} = 1 + 0, 063 = 1, 063$ , puis par $c_{2} = 1 - 0, 052 = 0, 948$ . Alors, $c = c_{1} \times c_{2} = 1, 007724$ Le coefficient multiplicateur global de l’évolution est $1, 007724$ .
Le taux d’évolution global est égal à $1, 007724 - 1 = 0, 007724$ ce qui correspond à une hausse de $0, 7724$ % d’abonnés.

Évolutions réciproques

Définition

Soit une quantité passant d’une valeur $V_{0}$ à une valeur $V_{1}$ . Le taux d’évolution réciproque est le taux d’évolution permettant de revenir à $V_{0}$ à partir de $V_{1}$ . Son coefficient multiplicateur est appelé coefficient multiplicateur réciproque.

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Propriétés

Soit $c$ le coefficient multiplicateur d’une évolution.

Le coefficient multiplicateur réciproque est égal à $\frac{1}{c}$ .
Le taux d’évolution réciproque est égal à $\frac{1}{c} - 1$ .

Le CAC 40 (pour Cotation Assistée en Continu) est le principal indice boursier de la place de Paris. Il se compose de $40$ valeurs parmi les $100$ premières capitalisations françaises et est le reflet de la tendance générale des performances des grandes entreprises françaises sur les marchés financiers. Entre 2023 et 2024, il est passé de $6473, 76$ points à $7543, 18$ points.

Calculer la variation relative de cette évolution. Exprimer le résultat en pourcentages en arrondissant au centième près.
1. Calculer le coefficient multiplicateur de cette évolution.
2. En déduire le taux d’évolution réciproque. Exprimer le résultat en pourcentages en arrondissant au centième près.
3. Donner une interprétation de ce résultat.

$\frac{7543 , 18 - 6473 , 76}{6473 , 76} = 0, 165193025$ Ceci correspond à une hausse d’environ $16, 52$ %.
1. Soit $c$ le coefficient multiplicateur de cette évolution. Alors, $c - 1 = 0, 1652 ⟺ c = 1 + 0, 1652 = 1, 1652$ Le coefficient multiplicateur de cette évolution est $1, 1652$ .
2. Le taux d’évolution réciproque est égal à $\frac{1}{c} - 1 = - 0, 141778235$ Ceci correspond à une baisse d’environ $14, 18$ %.
3. Il faut appliquer une baisse d’environ $14, 18$ % à l’indice augmenté pour revenir à l’indice avant augmentation.