Suites arithmétiques et géométriques

Conjecturer, à partir de sa représentation graphique, la nature arithmétique ou géométrique d’une suite.
Démontrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique à l’aide de la raison.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est dite arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur, appelée raison de la suite.

La suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = - 2$ et pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = u_{n} + 3$ est la suite arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_{0} = - 2$ .

Proposition

Soit $(u_{n})$ une suite. Alors $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si et seulement si, on peut exprimer $(u_{n})$ ,

par récurrence : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ pour tout entier $n$ ;
par son terme général : $u_{n} = u_{0} + r \times n$ pour tout entier $n$ .

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $r = - 2$ .

Déterminer l’expression de $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ pour tout $n \in N$ .
Déterminer l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n \in N$ .

Pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = u_{n} - 2$ .
Pour tout $n \in N$ , $u_{n} = 5 - 2 n$ .

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ .

Sa représentation graphique est un nuage de points alignés.
Les variations de $(u_{n})$ dépendent du signe de $r$ :
- si $r > 0$ , elle est strictement croissante ;
- si $r < 0$ , elle est strictement décroissante ;
- si $r = 0$ , elle est constante.

Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout $n \in N$ par $u_{n} = 2 n + 1$ .

Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison.
Représenter les premiers termes de la suite dans le repère ci-dessous.

Soit $n \in N$ . On a : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 (n + 1) + 1 - 2 n - 1 = 2 n + 2 + 1 - 2 n - 1 = 2$ Donc, $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ : $(u_{n})$ est arithmétique de raison $2$ et de premier terme $u_{0} = 2 \times 0 + 1 = 1$ .

Suites géométriques

Définition

Une suite $(v_{n})$ est dite géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur, appelée raison de la suite.

La suite $(v_{n})$ définie par $v_{0} = 1$ et pour tout $n \in N$ , $v_{n + 1} = v_{n} \times (- 5)$ est la suite arithmétique de raison $q = - 5$ et de premier terme $v_{0} = 1$ .

Proposition

Soit $(v_{n})$ une suite. Alors $(v_{n})$ est géométrique de raison $q$ si et seulement si, on peut exprimer $(v_{n})$ ,

par récurrence : $v_{n + 1} = v_{n} \times q$ pour tout entier $n$ ;
par son terme général : $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ pour tout entier $n$ .

Soit $(v_{n})$ une suite géométrique de premier terme $v_{0} = 5$ et de raison $q = - 3$ .

Déterminer l’expression de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ pour tout $n \in N$ .
Déterminer l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n \in N$ .

Pour tout $n \in N$ , $v_{n + 1} = - 3 v_{n}$ .
Pour tout $n \in N$ , $v_{n} = 5 \times (- 3)^{n}$ .

Propriété

Soit $(v_{n})$ une suite géométrique de raison $q > 0$ . Les variations de $(v_{n})$ dépendent de $q$ :

si $q > 1$ , elle est strictement croissante ;
si $q \in] 0; 1 [$ , elle est strictement décroissante ;
si $q = 1$ , elle est constante.

Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout $n \in N$ par $v_{n} = 10 \times \frac{1}{2 ^{n}}$ .

Montrer que $(v_{n})$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
Représenter les premiers termes de la suite dans le repère ci-dessous.

Soit $n \in N$ . Notons que $v_{n} \neq = 0$ . On a : $\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = \frac{10 \times \frac{1}{2 ^{n + 1}}}{10 \times \frac{1}{2 ^{n}}} = \frac{10 \times \frac{1}{2 ^{n}} \times \frac{1}{2}}{10 \times \frac{1}{2 ^{n}}} = \frac{1}{2}$ Donc, $v_{n + 1} = v_{n} \times \frac{1}{2}$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = 10 \times \frac{1}{2 ^{0}} = 10$ .