Arithmétique

Connaître les notations de $N$ pour les nombres entiers naturels et de $Z$ pour les nombres entiers relatifs.
Définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair.
Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier.
Présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible.

Divisibilité

Multiples et diviseurs

Définition

Soient $a, b \in N$ . On dit que $a$ est un multiple de $b$ s’il existe $q \in N$ tel que $a = b q$ On dit également que $b$ est un diviseur de $a$ . Cela revient à dire que $a$ est dans la table de multiplication de $b$ .

Dans la définition, on peut aisément remplacer $N$ par $Z$ . Mais, pour simplifier les choses dans la suite, on ne considérera que les multiples et diviseurs positifs.

Soit $n$ un nombre entier. Montrer que la somme de deux multiples de $n$ est un multiple de $n$ .

Soient $a$ et $b$ deux multiples de $n$ . On peut écrire $a = n q_{1}$ et $b = n q_{2}$ avec $q_{1}, q_{2} \in Z$ . Alors, $a + b = n q_{1} + n q_{2} = n = q (q_{1} + q_{2}) = n q$ Donc $a + b$ est bien égal à $n q$ avec $q = q_{1} + q_{2} \in Z$ .

Méthode

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre entier $n$ , on teste la divisibilité de $n$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $n$ .

Dresser la liste des diviseurs des nombres suivants.

$21$ :
$6$ :
$15$ :
$11$ :

On calcule : $21 \approx 4, 58$ . Il suffit de tester la divisibilité de $21$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$ .
- $21 = 1 \times 21$ , donc $1$ et $21$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 2 \times 10 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $2$ .
- $21 = 3 \times 7$ , donc $3$ et $7$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 4 \times 5 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $4$ .
Les diviseurs de $21$ sont donc $1$ ; $3$ ; $7$ et $21$ .
On calcule : $6 \approx 2, 45$ . Il suffit de tester la divisibilité de $6$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $2$ .
- $6 = 1 \times 6$ , donc $1$ et $6$ sont des diviseurs de $6$ .
- $6 = 2 \times 3$ , donc $2$ et $3$ sont des diviseurs de $6$ .
Les diviseurs de $6$ sont donc $1$ ; $2$ ; $3$ et $6$ .
On calcule : $15 \approx 3, 87$ . Il suffit de tester la divisibilité de $15$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $15 = 1 \times 15$ , donc $1$ et $15$ sont des diviseurs de $15$ .
- $15 = 2 \times 7 + 1$ , donc $15$ n’est pas divisible par $2$ .
- $15 = 3 \times 5$ , donc $3$ et $5$ sont des diviseurs de $15$ .
Les diviseurs de $15$ sont donc $1$ ; $3$ ; $5$ et $15$ .
On calcule : $11 \approx 3, 32$ . Il suffit de tester la divisibilité de $11$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $11 = 1 \times 11$ , donc $1$ et $11$ sont des diviseurs de $11$ .
- $11 = 2 \times 5 + 1$ , donc $11$ n’est pas divisible par $2$ .
- $11 = 3 \times 3 + 2$ , donc $11$ n’est pas divisible par $3$ .
Les diviseurs de $11$ sont donc $1$ et $11$ .

Propriété

Tout nombre entier est divisible par $1$ et par lui-même.

Nombres pairs, nombres impairs

Définition

Soit $n$ un nombre entier.

On dit que $n$ est pair s’il existe un entier $k$ tel que $n = 2 k$ . Autrement dit, $n$ est pair s’il est divisible par $2$ .
On dit que $n$ est impair s’il existe un entier $k$ tel que $n = 2 k + 1$ . Autrement dit, $n$ est impair s’il n’est pas divisible par $2$ .

Par exemple, $66$ est pair car $66 = 2 \times 33$ , mais $17$ est impair car $17 = 2 \times 8 + 1$ .

Montrer que le carré de tout nombre pair est pair.

Soit $n \in Z$ un nombre pair. Il existe $k \in Z$ tel que $n = 2 k$ . Alors, $n^{2} = 4 k^{2} = 2 \times k^{'} 2 k^{2} = 2 k^{'}$ Donc $n^{2}$ est bien égal à $2 k^{'}$ avec $k^{'} = 2 k^{2} \in Z$ .

Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un nombre entier plus grand que $1$ qui n’est divisible que par $1$ et par lui-même.

Donner $4$ nombres premiers inférieurs à $100$ .

$2$ .
$3$ .
$5$ .
$7$ .

Méthode

Pour montrer qu’un entier naturel $n$ est premier, on vérifie qu’il ne possède aucun diviseur inférieur ou égal à $n$ .

Montrer que $23$ est un nombre premier.
Montrer que $12345678$ n’est pas un nombre premier.

On calcule : $23 \approx 4, 8$ . Il suffit de tester la divisibilité de $23$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$ .
- $23 = 1 \times 23$ , donc $1$ et $23$ sont des diviseurs de $23$ .
- $23 = 2 \times 11 + 1$ , donc $23$ n’est pas divisible par $2$ .
- $23 = 3 \times 7 + 2$ , donc $23$ n’est pas divisible par $3$ .
- $23 = 4 \times 5 + 3$ , donc $23$ n’est pas divisible par $4$ .
Les diviseurs de $21$ sont donc $1$ et $21$ . Ainsi, $21$ est premier.
$12345678$ est un nombre pair, il est donc divisible par $2$ . Nous avons donc trouvé un autre diviseur que $1$ et $12345678$ , cela signifie que $12345678$ n’est pas premier.

Propriété

Il existe une infinité de nombres premiers.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème fondamental de l’arithmétique

Tout nombre entier plus grand que $1$ peut s’écrire comme produit de nombres premiers. Il s’agit de la décomposition en produit de facteurs premiers de ce nombre.

De plus, cette décomposition est unique (si l’on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs).

Décomposer les nombres entiers suivants en produit de facteurs premiers.

$360 =$
$1515 =$

$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 5 \times 3^{2}$
$1515 = 5 \times 303 = 5 \times 3 \times 101$

Fractions irréductibles

Définition

Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux s’ils n’admettent aucun diviseur commun hormis $1$ .

Est-ce que $5$ et $11$ sont premiers entre eux ?

Ces deux nombres sont premiers, donc leur seul diviseur commun est $1$ . Ils sont donc premiers entre eux.

Méthode

Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, on vérifie qu’ils n’ont aucun facteur commun dans leur décomposition en produit de facteurs premiers.

$46$ et $5460$ ne sont pas premiers entre eux car $46 = 2 \times 23$ et $5460 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ .

Définition

Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier (ie. l’écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits).

$\frac{3}{4}$ est une fraction irréductible mais $\frac{5}{10}$ ne l’est pas (car $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ).

Propriété

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Dire si les fractions suivantes sont irréductibles. Les réduire dans le cas contraire.

$\frac{10}{14}$ :
$\frac{55}{35}$ :
$\frac{23}{3}$ :

Décomposons $10$ et $14$ en produits de facteurs premiers.
- $10 = 2 \times 5$ .
- $14 = 2 \times 7$ .
D’où : $\frac{10}{14} = \frac{2 \times 5}{2 \times 7} = \frac{5}{7}$
Décomposons $55$ et $35$ en produits de facteurs premiers.
- $55 = 5 \times 11$ .
- $35 = 5 \times 7$ .
D’où : $\frac{55}{35} = \frac{5 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{7}$
$23$ et $3$ sont deux nombres premiers, donc leur seul diviseur commun est $1$ . Ils sont donc premiers entre eux. Ainsi, la fraction $\frac{23}{3}$ est irréductible.