Calcul numérique

Connaître les règles de calcul sur les puissances entières relatives, sur les racines carrées.
Savoir présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible.
Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.

Fractions

Mise au même dénominateur

Propriété

Une fraction ne change pas de valeur si l’on multiplie ou si l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Calculer $- 3, 6 \div 1, 2$ en utilisant la propriété ci-dessus.

$- 3, 6 \div 1, 2 = \frac{- 3 , 6}{1 , 2} = \frac{- 36}{12} = - 36 \div 12 = 3$

Mettre les fractions suivantes au même dénominateur.

$\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{4}$ :
$\frac{5}{6}$ et $\frac{5}{3}$ :
$\frac{10}{2}$ et $\frac{4}{1}$ :
$\frac{7}{- 8}$ et $\frac{9}{4}$ :
$\frac{- 1}{10}$ et $\frac{1}{9}$ :
$\frac{11}{4 x}$ et $\frac{4}{3 y}$ :

$\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{4}$ : $\frac{2}{4}$ et $\frac{5}{4}$ .
$\frac{5}{6}$ et $\frac{5}{3}$ : $\frac{5}{6}$ et $\frac{10}{6}$ .
$\frac{10}{2}$ et $\frac{4}{1}$ : $\frac{10}{2}$ et $\frac{8}{2}$ .
$\frac{7}{- 8}$ et $\frac{9}{4}$ : $\frac{7}{- 8}$ et $\frac{- 18}{- 8}$ .
$\frac{- 1}{10}$ et $\frac{1}{9}$ : $\frac{- 9}{90}$ et $\frac{10}{90}$ .
$\frac{11}{4 x}$ et $\frac{4}{3 y}$ : $\frac{33 y}{12 x y}$ et $\frac{16 x}{12 x y}$ .

Simplification de fractions

Définition

Simplifier une fraction, c’est l’écrire avec une autre fraction qui lui est égale et dont le dénominateur est plus petit. Pour cela, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.

Simplifier les fractions suivantes.

$\frac{2 x}{4 x} =$
$\frac{- 8}{4} =$
$- \frac{10 x}{100} =$
$\frac{45}{- 20} =$
$\frac{- 33}{- 22} =$
$- \frac{- 108}{99} =$

$\frac{2 x}{4 x} = \frac{1}{2}$ .
$\frac{- 8}{4} = \frac{- 4}{1} = - 4$ .
$- \frac{10 x}{100} = - \frac{x}{10}$ .
$\frac{45}{- 20} = \frac{9}{- 4} = - \frac{9}{4}$ .
$\frac{- 33}{- 22} = \frac{3}{2}$ .
$- \frac{- 108}{99} = - \frac{- 12}{11} = - (- \frac{12}{11}) = \frac{12}{11}$ .

Opérations sur les fractions

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, on les met au même dénominateur, puis on additionne (ou on soustrait) les numérateurs tout en on gardant le dénominateur commun.

Effectuer les calculs suivants.

$\frac{12}{5} + \frac{8}{5}$ =
$\frac{4}{6} - \frac{2}{6}$ =
$\frac{9}{- 4} + \frac{- 1}{4}$ =
$\frac{- 1}{5} + \frac{1}{10}$ =
$\frac{3}{4} - \frac{- 5}{2}$ =
$\frac{1}{x} + \frac{- 3}{11}$ =

$\frac{12}{5} + \frac{8}{5} = \frac{12 + 8}{5} = \frac{20}{5} = \frac{4}{1} = 4$ .
$\frac{4}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
$\frac{9}{- 4} + \frac{- 1}{4} = - \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{9 + 1}{4} = - \frac{10}{4} = - \frac{5}{2}$ .
$\frac{- 1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{- 2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{- 2 + 1}{10} = - \frac{1}{10}$ .
$\frac{3}{4} - \frac{- 5}{2} = \frac{3}{4} - (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{3}{4} + \frac{10}{4} = \frac{3 + 10}{4} = \frac{13}{4}$ .
$\frac{1}{x} + \frac{- 3}{11} = \frac{11}{11 x} - \frac{- 3 x}{11 x} = \frac{11 - 3 x}{11 x}$ .

Propriété

Pour multiplier une fraction par une autre, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs.
Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie par l’inverse de la seconde.

Effectuer les calculs suivants.

$\frac{5}{2} \times 4$ =
$- \frac{10}{3} \times \frac{1}{5}$ =
$\frac{- 9}{- 7} \times 8$ =
$\frac{1}{5} \div \frac{- 3}{2}$ =
$\frac{- 4}{- 4} \times 121$ =
$\frac{123456789}{2} \times 2$ =

$\frac{5}{2} \times 4 = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = \frac{10}{1} = 10$ .
$- \frac{10}{3} \times \frac{1}{5} = - \frac{10 \times 1}{3 \times 5} = - \frac{10}{15} = - \frac{2}{3}$ .
$\frac{- 9}{- 7} \times 8 = \frac{9}{7} \times 8 = \frac{9 \times 8}{7} = \frac{72}{7}$ .
$\frac{1}{5} \div \frac{- 3}{2} = \frac{1}{5} \times \frac{2}{- 3} = - \frac{1}{5} \times \frac{2}{3} = - \frac{1 \times 2}{5 \times 3} = - \frac{2}{15}$ .
$\frac{- 4}{- 4} \times 121 = 1 \times 121 = 121$ .
$\frac{123456789}{2} \times 2 = 123456789$ (car $\frac{123456789}{2}$ est le nombre qui multiplié par $2$ donne $123456789$ ).

Puissances

Définition

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un nombre entier naturel non nul. On définit :

$a^{n} = n fois a \times \dots \times a$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

On définit également $a^{0} = 1$ .

Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d’un nombre ou d’une fraction.

$(- 3)^{2}$ =
$3^{3}$ =
$5^{- 2}$ =
$200 9^{0}$ =

$(- 3)^{2} = 9$ .
$3^{3} = 27$ .
$5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}$ .
$200 9^{0} = 1$ .

Propriété

Soient $a, b$ deux nombres réels et $n, m$ deux nombres entiers naturels non nuls.

$a^{n} \times a^{m} = a^{n + m}$
$(a^{n})^{m} = a^{n \times m}$
$\frac{1}{a} = a^{- 1}$
$\frac{a ^{n}}{a ^{m}} = a^{n - m}$
$a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

Écrire les nombres sous la forme $a^{n}$ où $a$ est un nombre réel et $n$ un nombre entier relatif.

$(- 3)^{4} \times (- 3)^{- 7}$ =
$\frac{5 , 2 ^{5}}{5 , 2 ^{2}}$ =
$(\frac{36}{6})^{- 3}$ =
$(x^{11})^{9}$ =

$(- 3)^{4} \times (- 3)^{- 7} = (- 3)^{4 + (- 7)} = (- 3)^{- 3}$ .
$\frac{5 , 2 ^{5}}{5 , 2 ^{2}} = 5, 2^{5 - 2} = 5, 2^{3}$ .
$\frac{3 6 ^{- 3}}{6 ^{- 3}} = (\frac{36}{6})^{- 3} = 6^{- 3}$ .
$(x^{11})^{9} = x^{11 \times 9} = x^{99}$ .

Racines carrées

Définition

La racine carrée d’un nombre réel $a$ est le nombre (toujours positif) dont le carré est $a$ . On le note $a$ .

Les racines carrées suivantes sont à connaître : ce sont les (premiers) carrés parfaits.

$0 = 0$
$1 = 1$
$4 = 2$
$9 = 3$
$16 = 4$
$25 = 5$
$36 = 6$
$49 = 7$
$64 = 8$
$81 = 9$
$100 = 10$
$121 = 11$

Propriétés et simplifications

Propriété

Soient $a, b$ deux nombres réels positifs.

$a \times b = a \times b$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ( $b \neq = 0$ )
$(a)^{2} = a$
$a^{2} = a$

Le but de cet exercice est de démontrer la première propriété. Soient $a, b$ deux nombres réels positifs.

Quel est le nombre qui, mis au carré, donne $a \times b$ ?
Écrire $(a \times b)^{2}$ comme une multiplication. Puis, en utilisant la troisième propriété, simplifier le résultat.
Conclure.

D’après la définition, c’est $a \times b$ .
$(a \times b)^{2} = (a \times b) \times (a \times b) = a \times b \times a \times b = a \times a \times b \times b = (a)^{2} \times (b)^{2} = a \times b$
Le nombre qui, mis au carré, donne $a \times b$ est $a \times b$ . Or, $(a \times b)^{2} = a \times b$ . Donc, $a \times b = a \times b$ .

Méthode

Pour écrire une racine carrée $c$ sous la forme $a b$ avec $b$ le plus petit possible, il faut écrire $c$ comme le produit d’un carré parfait (le plus grand possible) par un nombre, puis appliquer les règles de calcul.

$12 = 4 \times 3 = 43 = 23$

Écrire les nombres suivants sous la forme $a b$ avec $b$ le plus petit possible.

$45$ =
$18$ =
$20$ =
$72$ =
$300$ =

$45 = 9 \times 5 = 35$ .
$18 = 9 \times 2 = 32$ .
$20 = 4 \times 5 = 25$ .
$72 = 36 \times 2 = 42$ .
$300 = 100 \times 3 = 103$ .