Échantillonnage

Connaître la définition d’un échantillon de taille $n$ pour une expérience à deux issues.
Effectuer une première approche de la loi des grands nombres.
Savoir estimer une probabilité, ou une proportion dans une population, à partir d’une fréquence observée sur un échantillon.

Échantillonnage

Notion d’échantillon

Définition

Soit $n \in N$ . On considère une expérience aléatoire à deux issues, que l’on peut répéter de manière indépendante (ie. de sorte que la probabilité de chaque issue ne dépend pas des résultats précédemment obtenus).

Un échantillon de taille $n$ est constitué des résultats obtenus par $n$ répétitions de cette expérience aléatoire.

On lance un dé équilibré à $6$ faces et on regarde si on tombe sur un résultat pair.

On peut répéter cette expérience aléatoire plusieurs fois de manière indépendante. Si on la répète dix fois, on obtient un échantillon de taille $10$ , par exemple : $(I; P; P; I; I; P; P; P; I; P)$ où $P$ désigne l’issue : le nombre obtenu est pair et $I$ l’issue : le nombre obtenu est impair.

On lance un dé tétraédrique (à quatre faces) équilibré, et on s’intéresse au fait d’obtenir $1$ . Donner un exemple d’échantillon de taille $5$ possible.

En notant $A$ l’issue le numéro obtenu est $1$ et $\overline{A}$ son contraire, un échantillon de taille $5$ possible est $(A; \overline{A}; \overline{A}; A; A)$

Simulation

Remarque

Simuler un échantillon informatiquement permet d’étudier des séries statistiques comportant un très grand nombre de données.

La code ci-contre est composé de deux fonctions.

piece() qui permet de renvoyer aléatoirement $0$ (pour Face) ou $1$ (pour Pile) afin de simuler un lancer de pièce.
echantillon(n) qui simule $n$ lancers de pièce et renvoie la liste des résultats.

Par exemple, echantillon(20) pourra renvoyer la liste

[0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,0,0]

qui présente une fréquence de Pile égale à $\frac{8}{20}$ .

code-1

On lance un dé à $6$ faces et on s’intéresse à l’événement obtenir $6$ .

Quelles sont les issues possibles pour cette expérience ? Donner la loi de probabilité associée.
Écrire une fonction frequenceDe6(n) en Python qui construit un échantillon de taille $n$ et qui calcule la fréquence de $6$ dans cet échantillon.
À quoi sert la fonction simulation(n, N) écrite ci-dessous ?

L’événement succès est obtenir $6$ qui a une probabilité de $\frac{1}{6}$ et l’événement échec est ne obtenir pas $6$ qui a une probabilité de $\frac{5}{6}$ . On peut représenter la loi de probabilité dans le tableau suivant :

Issue Obtenir $6$ Ne pas obtenir $6$

Probabilité $\frac{5}{6}$ $\frac{1}{6}$
Cette fonction sert à simuler $N$ échantillons de taille $n$ et retourne les $N$ fréquences obtenues.

Issue	Obtenir $6$	Ne pas obtenir $6$
Probabilité	$\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$

Échantillons de grande taille

Fluctuation

Définition

On considère une expérience aléatoire à deux issues et on note $p$ la probabilité d’une issue $ω$ .

Si on réalise plusieurs échantillons de même taille, la fréquence de l’issue $ω$ observée sur chaque expérience varie. C’est ce qu’on appelle la fluctuation d’échantillonnage.

Plus la taille des échantillons est grande, plus le phénomène de fluctuation diminue : les fréquences se rapprochent alors de $p$ . C’est la loi des grands nombres.

On exécute simulation(1000, 10) où simulation(n, N) est la fonction définie à l’exercice $2$ , et on obtient le résultat suivant :

[0.164,0.186,0.176,0.154,0.178,0.161,0.159,0.176,0.176,0.167]

On constate qu’avec une taille d’échantillon suffisamment élevée ( $1000$ ici), les fréquences se stabilisent autour de la probabilité de $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ .

Estimation

Définition

On considère une expérience aléatoire à deux issues et on note $p$ la probabilité d’une issue. Soit $f$ la fréquence observée de cette issue dans l’échantillon. Lorsque $n$ est grand, $f$ et $p$ sont proches donc, si l’on ne connaît pas la valeur de $p$ , on peut considérer que $f$ constitue une estimation.

On exécute simulation(20, 100) où simulation(n, N) est la fonction définie à l’exercice $2$ , et on représente le résultat dans le graphique ci-dessous par un nuage de points.

tikzpicture-1

À partir des fréquences observées, on retrouve une approximation de la probabilité d’obtenir $6$ : $\frac{1}{6}$ .

Remarque

Lorsqu’on approche la probabilité $p$ par la fréquence observée $f$ , l’erreur commise est égale à $∣ f - p ∣$ . Un résultat mathématique permet d’affirmer que, la plupart du temps, $∣ f - p ∣ \leq \frac{1}{n}$ En particulier, plus $n$ est grand, plus $f$ et $p$ sont proches.

Un supermarché souhaite estimer la proportion de ses clients qui paient par carte bancaire (CB). Pour cela, pendant $90$ jours, on relève la fréquence de clients payant par CB sur les $1000$ premiers clients, de sorte que l’on a $90$ échantillons de taille $1000$ . Les résultats sont représentés dans le graphique ci-dessous.

tikzpicture-2

Estimer la proportion des clients payant par CB dans ce supermarché.

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On observe que les fréquences de paiement en CB sont toutes regroupées autour d’une même valeur : $0, 75$ (environ). Cela veut dire que la probabilité qu’un client paie par CB est proche de $0, 75$ ; donc, que la proportion de clients payant en CB est d’environ $75$ %.