Notion de fonction

Connaître les différents modes de représentation d’une fonction : expression littérale, représentation graphique, …
Étudier des fonctions définies sur un intervalle ou une réunion finie d’intervalles.
Graphiquement, savoir déterminer des images et des antécédents ; et résoudre une équation ou une inéquation.
Exploiter une équation de courbe (appartenance d’un point, calcul de coordonnées) et connaître la traduction géométrique de la parité d’une fonction.

Ensemble de définition

Définition

Soit $D$ un ensemble de nombres réels. Définir une fonction $f$ sur $D$ revient à associer à chaque réel $a$ de $D$ un unique réel, noté $f (a)$ , et appelé image de $a$ par la fonction $f$ .

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On dit également que $a$ est un antécédent de $f (a)$ par la fonction $f$ . L’ensemble $D$ est l’ensemble de définition de la fonction $f$ .

Pour chaque fonction, déterminer son ensemble de définition.

$f : x \mapsto \frac{1}{x}$ :
$g : x \mapsto x$ :
$h : x \mapsto x^{2}$ :
$i : x \mapsto \frac{1}{x - 2}$ :

Le problème vient du quotient : il n’est pas défini en $0$ . Donc l’ensemble de définition est $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ (autrement noté $R_{*}$ ).
Le problème vient de la racine carrée : elle n’est pas définie pour les nombres négatifs. Donc l’ensemble de définition est $[0; + \infty [$ (autrement noté $R^{+}$ ).
Pas de souci pour cette fonction, elle est définie sur $] - \infty; + \infty$ , plus simplement noté $R$ .
Le problème vient du quotient : il n’est pas défini en $2$ . Donc l’ensemble de définition est $] - \infty; 2 [\cup] 2; + \infty [$ .

Notation

Pour une fonction $f$ , à un nombre $x$ , on fait correspondre le nombre $f (x)$ (lire $f$ de $x$ ). On note $f : x \mapsto f (x)$ . Attention donc à ne pas confondre $f$ et $f (x)$ : $f$ est une fonction, mais $f (x)$ est un nombre.

On considère la fonction $f : x \mapsto - 5 x + 7$ .

Compléter le tableau de valeurs suivant.

Nombre $x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

Image $f (x)$
En utilisant le tableau, répondre aux questions suivantes.
1. Que vaut $f (- 2)$ ?
2. Donner un antécédent de $7$ par la fonction $f$ .

Complétons le tableau en calculant.

Nombre $x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

Image $f (x)$ $17$ $12$ $7$ $2$ $- 3$
D’après le tableau ci-dessus :
1. $f (- 2) = 17$
2. Un antécédent de $7$ par la fonction $f$ est $0$ .

Nombre $x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
Image $f (x)$	$17$	$12$	$7$	$2$	$- 3$

Remarque

Un nombre peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents par une fonction, mais une unique image.

On considère la fonction carré $f : x \mapsto x^{2}$ .

Donner tous les antécédents de $4$ par la fonction $f$ .
Est-ce que $- 9$ peut avoir un antécédent par la fonction $f$ ? Justifier.

Les antécédents de $4$ par la fonction $f$ sont $- 2$ et $2$ .
$- 9$ ne peut pas avoir d’antécédent par la fonction $f$ car celle-ci ne prend que des valeurs positive (en effet, le carré d’un nombre est positif).

Représentation graphique

Tracer la représentation graphique d’une fonction

Définition

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x; f (x))$ . Cette représentation graphique est également appelée courbe représentative de la fonction $f$ .

Le but de cet exercice est de tracer la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto 0, 5 x^{2}$ .

Est-ce que le point $A (2; - 1)$ appartient à la courbe représentative de $f$ ? Justifier.
Compléter le tableau de valeurs suivant.

Nombre $x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$

Image $f (x)$
Dans le repère ci-contre, placer les points de coordonnées $(x; f (x))$ donnés par le tableau. Puis, les relier pour tracer $C_{f}$ , la courbe représentative de $f$ .

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$f (2) = 0, 5 \times 4 = 2$ . Donc $f (2) \neq = - 1$ : $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$ .
Complétons le tableau en calculant.

Nombre $x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$

Image $f (x)$ $4, 5$ $2$ $0, 5$ $0$ $0, 5$ $2$ $4, 5$
Plaçons les points de coordonnées $(x; f (x))$ donnés par le tableau. et relions ces points.

Nombre $x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
Image $f (x)$	$4, 5$	$2$	$0, 5$	$0$	$0, 5$	$2$	$4, 5$

Exploiter la représentation graphique d’une fonction

Méthode

Pour déterminer graphiquement l’image d’un nombre $x$ , on place $x$ sur l’axe des abscisses et on lit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.
Pour déterminer graphiquement les antécédents d’un nombre $y$ , on place $y$ sur l’axe des ordonnées et on lit les abscisses des points de la courbe correspondants.

On a tracé ci-contre la courbe représentative $C_{f}$ d’une fonction $f$ .

Déterminer graphiquement l’image des nombres suivants par la fonction $f$ .
- $2$ :
- $0$ :
Déterminer graphiquement un antécédent de $1$ par la fonction $f$ .

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Par lecture graphique :
- L’image de $2$ par $f$ est $1, 41$ environ.
- L’image de $0$ par $f$ est $0$ .
Par lecture graphique, un antécédent de $1$ par $f$ est $1$ .

Méthodes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $k$ un nombre réel.

Pour résoudre graphiquement l’équation $f (x) = k$ , on cherche l’abscisse des points de la courbe représentative de $f$ qui ont pour ordonnée le réel $k$ .
Pour résoudre graphiquement l’équation $f (x) = g (x)$ , on cherche l’abscisse des points d’intersection des courbes représentatives de $f$ et de $g$ .

Avec des techniques similaires, on peut résoudre des inéquations du type $f (x) \leq k$ , $f (x) < g (x)$ , …

On a tracé ci-contre les courbes représentatives de $f : x \mapsto - 0, 5 x^{3} + 4, 67 x^{2} - 12, 5 x + 9, 33$ et $g : x \mapsto - 0, 33 x^{2} + 2 x - 0, 67$ .

Résoudre graphiquement l’équation $f (x) = 1$ .
Résoudre graphiquement l’équation $- 0, 33 x^{2} + 2 x - 0, 67 = 3$ .
Résoudre graphiquement l’équation $f (x) = g (x)$ .
Résoudre graphiquement l’inéquation $g (x) \geq 2$ .
Résoudre graphiquement l’inéquation $f (x) < g (x)$ .

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Il faut considérer la courbe représentative de la fonction $f$ . On trace la droite horizontale d’ordonnée $1$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S = {1; 3, 3; 5}$ .
Il faut considérer la courbe représentative de la fonction $g$ . On trace la droite horizontale d’ordonnée $3$ .

Il n’y a pas de point d’intersection, donc $S = \emptyset$ .
Il faut considérer les courbes représentatives des deux fonctions $f$ et $g$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S = {1; 4; 5}$ .
Il s’agit ici de regarder le domaine où la courbe représentative de $g$ est au-dessus de $2$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S = [2; 4]$ .
Il s’agit ici de regarder le domaine où la courbe représentative de $f$ est strictement en-dessous de celle de $g$ .

En regardant l’abscisse des points d’intersection, on obtient $S =] 1; 4 [$ .

Parité

Définition

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D$ .

On dit que $f$ est paire si pour tout $x \in D$ , on a $- x \in D$ et $f (- x) = f (x)$ .
On dit que $f$ est impaire si pour tout $x \in D$ , on a $- x \in D$ et $f (- x) = - f (x)$ .

En justifiant, donner la parité des fonctions suivantes.

$f : x \mapsto x$ :
$g : x \mapsto x^{4}$ :
$h : x \mapsto x + 1$ :

Soit $x \in R$ . On a $f (- x) = - x$ et $- f (x) = - x$ aussi. Donc $f$ est impaire.
Soit $x \in R$ . On a $g (- x) = (- x)^{4} = x^{4}$ et $g (x) = x^{4}$ aussi. Donc $g$ est paire.
Soit $x \in R$ . On a $h (- x) = - x + 1$ et $- h (x) = - x - 1$ . Donc $h$ n’est ni paire, ni impaire.

Propriété

Dans un repère orthogonal :

la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Représenter graphiquement sur $[- 3; 3]$ la fonction $f : x \mapsto x^{2}$ dans le repère ci-contre.
Représenter de même la fonction $g : x \mapsto x^{3}$ .
Que peut-on en déduire ?

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$f$ est paire (car sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) et $g$ est impaire (car sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère).