Fonctions usuelles

Découvrir les fonctions carré, inverse, racine carrée, cube : définitions et courbes représentatives.
Pour deux nombres $a$ et $b$ donnés et une fonction de référence $f$ , savoir comparer $f (a)$ et $f (b)$ numériquement ou graphiquement.
Pour les fonctions affines, carré, inverse, racine carrée et cube, résoudre graphiquement ou algébriquement une équation ou une inéquation du type $f (x) = k$ , $f (x) < k$ .

Fonctions affines

Définition

Une fonction affine est une fonction $f$ de la forme $f : x \mapsto a x + b$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres. Si $b = 0$ , on dit que $f$ est linéaire.

Montrer que les fonctions ci-dessous sont des fonctions affines.

$f : x \mapsto - 3 x + 6$ :
$g : x \mapsto \frac{2 x + 5}{3}$ :
$h : x \mapsto 4 x$ :

$f$ est de la forme $f : x \mapsto a x + b$ avec $a = - 3$ et $b = 6$ .
$g$ est de la forme $g : x \mapsto a x + b$ avec $a = \frac{2}{3}$ et $b = \frac{5}{3}$ .
$h$ est de la forme $h : x \mapsto a x + b$ avec $a = 4$ et $b = 0$ . $h$ est même une fonction linéaire.

Représentation graphique

Proposition

Soit $f$ une fonction. Alors $f$ est affine si et seulement si sa courbe représentative est une droite.

Méthode

Pour représenter graphiquement une fonction affine, il suffit de connaître deux points par lesquels passe la courbe représentative de cette fonction. Ensuite, on trace la droite passant par ces points.

On considère la fonction $f : x \mapsto 1 - x$ .

$f$ est-elle une fonction affine ?
Compléter le tableau de valeurs suivant.

Nombre $x$ $0$ $1$

Image $f (x)$
Tracer $C_{f}$ , la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère ci-dessous.

Nombre $x$	$0$	$1$
Image $f (x)$

tikzpicture-1

C’est une fonction affine car elle est de la forme $f : x \mapsto a x + b$ avec $a = - 1$ et $b = 1$ .
Nombre $x$ $0$ $1$

Image $f (x)$ $1$ $0$
Nous allons nous servir du tableau précédent pour tracer la courbe représentative de la fonction. Il suffit pour cela de placer les deux points $(0; f (0))$ et $(1; f (1))$ puis de les relier.

Nombre $x$	$0$	$1$
Image $f (x)$	$1$	$0$

Paramètres

Définitions

Soit $f : x \mapsto a x + b$ une fonction affine dont on note $(d)$ la courbe représentative.

$a$ est le coefficient directeur de $f$ ; aussi appelé pente de $(d)$ . En restant sur la droite $(d)$ , en augmentant l’abscisse de $1$ , l’ordonnée augmente de $a$ .
$b$ est l’ordonnée à l’origine de $(d)$ (ou de $f$ ). Il s’agit de l’ordonnée du point d’intersection de $(d)$ avec l’axe des ordonnées.
L’équation $y = f (x)$ est l’équation réduite de $(d)$ .

On considère $f$ une fonction affine dont la courbe a été représentée dans le repère ci-contre. Par lecture graphique, on déduit que :

le coefficient directeur de $f$ est $0, 5$ ;
l’ordonnée à l’origine de $f$ est $2$ .

Donc l’expression de $f$ en fonction de $x$ est $f : x \mapsto 0, 5 x + 2$ .

tikzpicture-3

On a représenté une fonction $g$ ci-dessous.

tikzpicture-4

Expliquer pourquoi $g$ est affine.
Quel est son coefficient directeur ?
Quelle est son ordonnée à l’origine ?
En déduire l’expression de $g (x)$ où $x$ est un nombre.

$g (x) =$

La courbe représentative de $g$ est une droite, donc $g$ est une fonction affine.
En avançant de $1$ , on descend de $1$ . Donc le coefficient directeur de $g$ est $- 1$ .
Les coordonnées du point d’intersection de $C_{g}$ avec l’axe des ordonnées sont $(0; - 2)$ . Donc l’ordonnée à l’origine de $g$ est $- 2$ .
Ainsi, $g (x) = (- 1) \times x + (- 2) = - x - 2$ .

Fonctions puissances

Fonction carré

Définition

La fonction carré est la fonction définie sur $R$ par $x \mapsto x^{2}$ . Sa courbe représentative est une parabole.

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction carré.

tikzpicture-5

Résoudre graphiquement l’équation $x^{2} = 1$ .
Donner une valeur approchée de la racine carrée de $2$ .

$2 \approx$

En regardant l’abscisse des points d’intersection de la courbe représentative de la fonction carré et de la droite d’équation $y = 1$ , on obtient $S = {- 1; 1}$
$2$ est l’antécédent de $2$ par la fonction carré. Toujours en regardant la courbe représentative, on obtient $2 \approx 1, 41$ .

Propriété

La fonction carré est une fonction paire.

Fonction cube

Définition

La fonction cube est la fonction définie sur $R$ par $x \mapsto x^{3}$ .

Effectuer les calculs suivants.
1. $2^{3} =$
2. $- 2^{3} =$
3. $(- 3)^{3} =$
4. $5^{3} =$
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Conjecturer à quelle condition on a $a^{3} \leq b^{3}$ .

1. $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
2. $- 2^{3} = - 2 \times 2 \times 2 = - 8$
3. $(- 3)^{3} = (- 3) \times (- 3) \times (- 3) = - 27$
4. $5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$
Il semble que $a^{3} \leq b^{3}$ si et seulement si $a \leq b$ .

Propriétés

La fonction cube est une fonction impaire.
Tout nombre réel $a$ admet un unique antécédent par la fonction cube : il s’agit de sa racine cubique, que l’on note $3 a$ .

Effectuer les calculs de racines cubiques suivants.

$3125 =$
$3 - 8 =$
$3 - 1 =$
$327 =$

$3125 = 5$
$3 - 8 = - 2$
$3 - 1 = - 1$
$327 = 3$

Fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction définie sur $R^{+}$ par $x \mapsto x$ .

On a tracé ci-dessous les courbes des fonctions $f : x \mapsto x$ , $g : x \mapsto x^{2}$ , $h : x \mapsto x^{3}$ et $i : x \mapsto x$ .

tikzpicture-7

Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative.
1. $f :$
2. $g :$
3. $h :$
4. $i :$
Résoudre graphiquement les inéquations suivantes.
1. $x^{3} > x^{2}$ :
2. $x \geq x^{2}$ :
3. $x \geq x$ :

1. $f : C_{4}$ .
2. $g : C_{1}$ .
3. $h : C_{3}$ .
4. $i : C_{2}$ .
1. Regardons sur quel domaine la courbe $C_{3}$ est strictement au-dessus de la courbe $C_{1}$ .
  
  Donc $S =] 1; + \infty [$ .
2. Regardons sur quel domaine la courbe $C_{4}$ est au-dessus de la courbe $C_{1}$ .
  
  Donc $S = [0; 1]$ .
3. Regardons sur quel domaine la courbe $C_{2}$ est au-dessus de la courbe $C_{4}$ .
  
  Donc $S = [0; 1]$ .

Fonction inverse

Définition

La fonction inverse est la fonction définie sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ par $x \mapsto \frac{1}{x}$ . Sa courbe représentative est une hyperbole.

En utilisant éventuellement la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction inverse dans le repère ci-dessous.
Que semble-t-il se passer aux alentours de l’origine ?