Probabilités

Connaître le vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire (et univers associé), événement, loi de probabilité.
Savoir manier réunion, intersection, complémentaire d’événements ainsi que les formules associées.
Savoir dénombrer à l’aide de tableaux et d’arbres.
Utiliser des modèles théoriques de référence (dé, pièce équilibrée, tirage au sort avec équiprobabilité dans une population) en comprenant que les probabilités sont définies a priori. Construire un modèle à partir de fréquences observées, en distinguant nettement modèle et réalité.
Calculer des probabilités dans des cas simples : expérience aléatoire à deux ou trois épreuves.

Vocabulaire

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont les différents résultats possibles appelés issues sont connus mais dont on ne sait pas, a priori, lequel va se produire. L’ensemble des issues forme l’univers de l’expérience.
La probabilité d’une issue est un nombre compris entre $0$ et $1$ , qui peut s’interpréter comme la proportion de chances d’obtenir cette issue.

On dit que les issues d’une expérience sont équiprobables si elles ont la même probabilité.
Définir une loi de probabilité pour une expérience aléatoire revient à attribuer une probabilité à chaque issue, de sorte que la somme des probabilités de chaque issue soit égale à $1$ .
Un événement désigne un ensemble d’issues. Si le résultat de l’expérience aléatoire est une des issues de l’événement, on dit que l’événement est réalisé. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Les issues sont :

Obtenir $1$ .
Obtenir $2$ .
Obtenir $3$ .
Obtenir $4$ .
Obtenir $5$ .
Obtenir $6$ .

Chacune de ces issues à une probabilité de $\frac{1}{6}$ de se produire : il s’agit donc d’une situation d’équiprobabilité. Soit $A$ l’événement Obtenir un nombre pair. Alors, on peut calculer la probabilité de $A$ , notée $P (A)$ : $P (A) = \frac{1}{6} Probabilit \overset{e}{ˊ} d’obtenir 2 + \frac{1}{6} Probabilit \overset{e}{ˊ} d’obtenir 4 + \frac{1}{6} Probabilit \overset{e}{ˊ} d’obtenir 6 = \frac{1}{2}$

Dans un sac se trouvent trois boules : une blanche, une bleue et une rouge. On en tire une au hasard.

Compléter le tableau ci-dessous en écrivant les issues possibles dans la première colonne et la probabilité correspondante dans la deuxième.

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche $\frac{1}{3}$

Tirer la boule bleue $\frac{1}{3}$

Tirer la boule rouge $\frac{1}{3}$

Le tableau ci-dessus représente la loi de probabilité de notre expérience aléatoire.
A-t-on une situation d’équiprobabilité ?
Que vaut la somme des probabilités de la deuxième colonne ?
Quelle est la probabilité de l’événement Tirer une boule colorée ?

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule bleue	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule rouge	$\frac{1}{3}$

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche $\frac{1}{3}$

Tirer la boule bleue $\frac{1}{3}$

Tirer la boule rouge $\frac{1}{3}$
Oui : chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
Elle vaut $1$ d’après la propriété précédente. Cela peut se vérifier facilement : $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ .
On note $A$ l’événement Tirer une boule colorée. Alors : $P (A) = probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule bleue” \frac{1}{3} + probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule rouge” \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule bleue	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule rouge	$\frac{1}{3}$

Opérations sur les événements

Union et intersection d’événements

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements.

L’événement constitué des issues appartenant à $A$ et à $B$ est noté $A \cap B$ .
L’événement constitué des issues appartenant à $A$ ou à $B$ est noté $A \cup B$ .

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux événements. Alors, $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Un vendeur ambulant vend des fleurs rouges et jaunes de deux sortes. Il dispose de $15$ roses rouges et $12$ jaunes ainsi que de $20$ tulipes rouges et $22$ jaunes. Il propose au hasard une fleur à un client. On considère les événements suivants :

$J$ : La fleur proposée est jaune.
$T$ : La fleur proposée est une tulipe.

Déterminer les probabilités suivantes.
1. $P (J) =$
2. $P (T) =$
Décrire les événements $T \cap J$ et $T \cup J$ , puis déterminer leur probabilité.

Il y a $69$ fleurs en tout.
1. $P (J) = \frac{12}{69} + \frac{22}{69} = \frac{34}{69}$
2. $P (T) = \frac{20}{69} + \frac{22}{69} = \frac{42}{69}$
3. $P (\overline{J}) = 1 - P (J) = \frac{35}{69}$
4. $P (\overline{T}) = 1 - P (T) = \frac{25}{69}$
$T \cap J$ désigne l’événement La fleur proposée est une tulipe jaune et $T \cup J$ désigne l’événement La fleur proposée est une tulipe ou est jaune. On a
- $P (T \cap J) = \frac{22}{69}$
- $P (T \cup J) = P (T) + P (J) - P (T \cap J) = \frac{42}{69} + \frac{34}{69} - \frac{22}{69} = \frac{54}{69}$

Complémentaire d’un événement

Définition

Soit $A$ un événement. On appelle événement contraire de $A$ , l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$ . On le note $\overline{A}$ .

Propriété

Soit $A$ un événement. Alors, $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

Le jeu de cartes français est un jeu de $54$ cartes organisées en quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Il comporte $52$ cartes à jouer réparties en quatre familles de treize, plus deux jokers.

On dispose d’un tel jeu, et on tire au hasard une carte.

Quelle est la probabilité que cette carte soit un Roi ?
Quelle est la probabilité que cette carte ne soit pas un cœur ?

Dans un tel jeu de cartes, il y a quatre Rois. Donc, la probabilité de tirer un roi est de $\frac{4}{54}$ .
Les différentes couleurs trèfle, carreau, cœur et pique sont équitablement réparties à travers $52$ cartes du jeu (les $54$ moins les deux jokers). Donc, il y a $\frac{52}{4} = 13$ cœurs.

Notons $C$ l’événement Tirer un cœur. Alors : $P (C) = \frac{13}{54}$ D’où : $P (\overline{C}) = 1 - \frac{13}{54} = \frac{41}{54}$

Expériences aléatoires à plusieurs épreuves

Définition

La succession de deux épreuves aléatoires constitue une expérience aléatoire à deux épreuves. Pour étudier une telle expérience aléatoire, on peut utiliser un arbre de probabilités.

Une urne contient deux boules blanches et trois boules rouges. On tire une première boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne. On en fait de même avec une deuxième boule.

On note :

$B_{1}$ l’événement la première boule est blanche et $B_{2}$ l’événement la deuxième boule est blanche. On a donc $P (B_{1}) = P (B_{2}) = \frac{2}{5}$ .
$R_{1}$ l’événement la première boule est rouge et $R_{2}$ l’événement la deuxième boule est rouge. On a donc $P (R_{1}) = P (R_{2}) = \frac{3}{5}$ .

C’est une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes que l’on peut représenter par l’arbre ci-contre.

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La probabilité de tirer deux boules blanches est donnée en suivant les branches de l’arbre, et en multipliant les probabilités rencontrées : $P (B_{1} \cap B_{2}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$ .

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. On note $P_{i}$ l’événement obtenir Pile au $i$ -ième lancer, et $F_{i}$ l’événement obtenir Face au $i$ -ième lancer.

Représenter cette expérience aléatoire dans un arbre de probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir une fois Face et une fois Pile ?

Notons $A$ l’événement obtenir une fois Face et une fois Pile. Alors : $P (A) = P (P_{1} \cap F_{2}) + P (F_{1} \cap P_{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$