Signe d’une fonction

Savoir résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.
Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine.
Étudier la position relative des courbes d’équation $y = x$ , $y = x^{2}$ et $y = x^{3}$ , pour $x \geq 0$ .

Signe

Tableaux de signes

Définition

Étudier le signe d’une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ revient à déterminer le signe des images $f (x)$ en fonction de $x \in D$ . On présente souvent ces résultats dans un tableau de signes.

La fonction cube $f : x \mapsto x^{3}$ est positive sur $[- 3; 0]$ et négative sur $[0; 3]$ . Elle s’annule en $0$ . On peut regrouper cela dans le tableau de signes ci-contre.

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On a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ ci-contre.

Dresser son tableau de signes sur l’intervalle $[- 2; 2]$ .
Donner le signe de $f (- 1, 01)$ en justifiant.

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Voici le tableau de signes de la fonction.
Le nombre $- 1, 01$ appartient à l’intervalle $[- 2; - 1]$ . Or, $f$ est négative sur cet intervalle. Donc, $f (- 1, 01) \leq 0$ .

Signe d’un produit, d’un quotient

Propriété

On peut déduire le signe d’un produit ou d’un quotient en appliquant la règle des signes.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dont la courbe représentative est tracée ci-contre sur l’intervalle $[- 3; 3]$ . Dresser le tableau de signes de la fonction $h : x \mapsto \frac{f ( x )}{g ( x )}$ .

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Voici le tableau de signes de la fonction.

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Fonctions usuelles

Fonctions affines

Propriété

Soit $f : x \mapsto a x + b$ une fonction affine telle que $a \neq = 0$ . Alors le tableau de signes de $f$ dépend du signe de $a$ .

Si $a > 0$ :

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Si $a < 0$ :

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Établir le tableau de signes de la fonction $f : x \mapsto 5 (1 - x)$ sur $[1; 10]$ .

Pour tout $x \in R$ , on a $f (x) = - 5 x + 5$ . C’est une fonction affine, dont le coefficient directeur est négatif. On en déduit le tableau de signes suivant.

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Établir le tableau de signes de la fonction $g : x \mapsto (x - 1) (2 - x)$ sur $[0; 4]$ .

On procède de la même manière que dans l’exercice précédent et on applique la règle des signes.

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Positions relatives des courbes de référence

Propriété

On considère :

la courbe $C_{1}$ d’équation $y = x$ ;
la courbe $C_{2}$ d’équation $y = x^{2}$ ;
la courbe $C_{3}$ d’équation $y = x^{3}$ .

Alors :

Si $x \in [0; 1 [$ : $x^{3} \leq x^{2} \leq x$ ; $C_{1}$ est située au-dessus de $C_{2}$ qui est située au-dessus de $C_{3}$ .
Si $x = 1$ : $x^{3} = x^{2} = x$ ; les courbes se coupent au point de coordonnées $(1; 1)$ .
Si $x \in] 1; + \infty [$ : $x \leq x^{2} \leq x^{3}$ ; $C_{3}$ est située au-dessus de $C_{2}$ qui est située au-dessus de $C_{1}$ .

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L’objectif de cet exercice est de démontrer que $x^{2} \leq x$ si et seulement si $x \in [0; 1]$ .

Factoriser $x^{2} - x$ .
Étudier le signe de la fonction $f : x \mapsto x^{2} - x$ sur $R$ .
Conclure.

On a $x^{2} - x = x (x - 1)$ .
On applique la règle des signes.
On a $f (x) \leq 0$ si et seulement si $x \in [0; 1]$ . Mais, $f (x) \leq 0$ équivaut à $x^{2} \leq x$ . C’est ce que l’on voulait.