Addition, soustraction et multiplication

Additionner et soustraire des nombres décimaux.
Comprendre le sens de la multiplication de deux nombres décimaux
Calculer le produit de deux nombres décimaux.
Multiplier un nombre entier ou un nombre décimal par $0, 1$ , par $0, 01$ , et par $0, 001$ .
Résoudre des problèmes mettant en jeu des multiplications entre des nombres décimaux.

Addition et soustraction

Méthode

Pour poser une addition ou une soustraction de nombres décimaux :

on aligne les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, etc. ;
on complète avec des zéros pour avoir un alignement correct et complet ;
on commence l’opération par la droite ;
on procède comme pour les nombres entiers, en utilisant des retenues si nécessaire ;
finalement, on place la virgule dans l’alignement.

Calculer $478, 3 + 124, 07 + 49, 15$ .

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Calculer $674, 51 - 78, 1$ .

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Multiplication

Méthode

Pour poser une multiplication de nombres décimaux :

on pose la multiplication sans virgule ;
puis, on additionne le nombre de chiffres de la partie décimale du premier nombre au nombre de chiffres de la partie décimale du second : cette somme est le nombre de chiffres après la virgule du produit.

Calculer $1, 2 \times 1, 2$ .

Quelle erreur aurait-on pu commettre ?

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On aurait envie de dire que $1, 2 \times 1, 2 = 1, 4$ .

Calculer $3, 47 \times 3, 2$ .

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Propriétés

Pour multiplier par $10$ , $100$ , $1000$ , …, on fait glisser la virgule vers la droite d’un rang égal au nombre de zéros du multiplicateur.
Pour multiplier par $0, 1$ , $0, 01$ , $0, 001$ , …, on fait la même chose de l’autre sens : on fait glisser la virgule vers la gauche.

En multipliant par $10$ , le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines (le chiffre des dixièmes devient le chiffre des unités, le chiffre des centièmes devient le chiffre des dixièmes, …).
En multipliant par $100$ , le chiffre des unités devient le chiffre des centaines (le chiffre des dixièmes devient le chiffre des dizaines, le chiffre des centièmes devient le chiffre des unités, …).

Compléter le tableau suivant en multipliant le nombre du dessus par $10$ puis par $100$ .

Dizaines	Unités	Dixièmes	Centièmes	Millièmes
$2$	$1,$	$7$	$8$	$3$

En déduire les produits suivants.

$21, 783 \times 10 =$
$21, 783 \times 100 =$

Milliers	Centaines	Dizaines	Unités	Dixièmes	Centièmes	Millièmes
		$2$	$1,$	$7$	$8$	$3$
	$2$	$1$	$7,$	$8$	$3$
$2$	$1$	$7$	$8,$	$3$

D’où :

$21, 783 \times 10 = 217, 83$
$21, 783 \times 100 = 2178, 3$

Méthodes et règles de calcul

Regroupement de termes et de facteurs

Propriétés

Dans une addition, on peut :

modifier l’ordre des termes ;
regrouper les termes différemment.

De même, dans une multiplication, on peut :

modifier l’ordre des facteurs ;
regrouper les facteurs différemment.

$3, 2 + 5, 4 = 8, 6$ et $5, 4 + 3, 2 = 8, 6$ .
$3, 2 \times 4 = 12, 8$ et $4 \times 3, 2 = 12, 8$ .

Calculer astucieusement $2, 3 + 4, 9 + 1, 7$ .

$2, 3 + 4, 9 + 1, 7 = 2, 3 + 1, 7 + 4, 9 = 4 + 4, 9 = 8, 9$

Calculer astucieusement $1, 5 \times 5, 1 \times 2$ .

$1, 5 \times 5, 1 \times 2 = 1, 5 \times 2 \times 5, 1 = 3 \times 5, 1 = 15, 3$

Attention !

On ne peut pas modifier l’ordre des termes d’une soustraction.

Priorités opératoires

Propriétés

Les calculs entre parenthèses sont prioritaires.
Les multiplications (et les divisions) sont prioritaires sur les additions et les soustractions.

Effectuer les calculs suivants.

$2, 1 + 3, 5 \times 2 =$
$2 \times (3, 5 - 2, 4) =$

$2, 1 + 3, 5 \times 2 = 2, 1 + 7 = 9, 1$ .
$2 \times (3, 5 - 2, 4) = 2 \times 1, 1 = 2, 2$ .

Distributivité

Propriété

La multiplication est distributive par rapport à l’addition. C’est-à-dire que l’on peut écrire le produit d’une somme de deux termes comme la somme du produit de ces termes. Il en est de même pour la soustraction.

On va utiliser cette propriété pour calculer $3 \times 47$ :

$3 \times 47 = 3 \times (40 + 7) = 3 \times 40 + 3 \times 7 = 120 + 21 = 141$

On va utiliser cette propriété pour calculer $98 \times 4$ : $98 \times 4 = 4 \times 98 = 4 \times (100 - 2) = 4 \times 100 - 4 \times 2 = 400 - 8 = 392$

Calculer astucieusement.

$32 \times 101 =$
$30 \times 9 =$
$13 \times 102 =$
$20 \times 99 =$
$24 \times 97 + 24 \times 3 =$
$6 \times 15 + 4 \times 15 =$

$32 \times 101 = 32 \times (100 + 1) = 32 \times 100 + 32 \times 1 = 3200 + 32 = 3232$
$30 \times 9 = 30 \times (10 - 1) = 30 \times 10 - 30 \times 1 = 300 - 30 = 270$
$13 \times 102 = 13 \times (100 + 2) = 13 \times 100 + 13 \times 2 = 1300 + 26 = 1326$
$20 \times 9 = 20 \times (100 - 1) = 20 \times 100 - 20 \times 1 = 2000 - 20 = 1980$
$24 \times 97 + 24 \times 3 = 24 \times (97 + 3) = 24 \times 100 = 2400$
$6 \times 15 + 4 \times 15 = (6 + 4) \times 15 = 10 \times 15 = 150$