Aires

Comparer des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure, par superposition ou par découpage et recollement.
Différencier périmètre et aire d’une figure.
Estimer la mesure d’une aire et l’exprimer dans une unité adaptée.
Déterminer la mesure de l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple ou en utilisant une formule.
Calculer le périmètre d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle ou d’un cercle en utilisant une formule.

Définitions

Définition

L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure, dans une unité d’aire donnée.

Déterminer l’aire $A_{1}$ de la figure 1 ainsi que l’aire $A_{2}$ de la figure 2.

tikzpicture-1

$A_{1} =$
$A_{2} =$

$A_{1} = 6 unit \overset{e}{ˊ} s d’aire$ .
$A_{2} = 7 unit \overset{e}{ˊ} s d’aire$ .

Méthode

L’unité d’aire de référence est le mètre carré. Pour convertir des unités d’aire, on effectue des multiplications ou des divisions par $100$ . On peut pour cela s’aider d’un tableau de conversion.

km²		hm²		dam²		m²		dm²		cm²		mm²

En utilisant le tableau ci-dessus (si besoin), effectuer les conversions suivantes.

$12$ m² = cm²
$1500$ mm² = cm²
$10, 2$ km² = hm²
$5, 8$ dm² = m²

Remplissons le tableau :

km²		hm²		m²		dm²		cm²		mm²
				$1$	$2$	$0$	$0$	$0$	$0$
								$1$	$5,$	$0$	$0$
$1$	$0$	$2$	$0$
					$0,$	$0$	$5$	$8$

Et nous pouvons effectuer les conversions :

$12$ m² = $120000$ cm²
$1500$ mm² = $15$ cm²
$10, 2$ km² = $1020$ hm²
$5, 8$ dm² = $0, 058$ m²

Remarque

Pour mesurer l’aire d’un terrain, on utilise parfois l’are (noté a) et l’hectare (noté ha) :

$1$ a = $1$ dam² ;
$1$ ha = $1$ hm².

Ces unités ne font pas partie du système international d’unités, mais elles sont toujours d’usage dans la vie quotidienne notamment dans le milieu immobilier et dans les actes notariaux pour déterminer la taille d’un terrain ou d’un jardin.

Domaine, parc, jardin ou terrain	Superficie approximative
Parc national de Banff (Canada)	$664100$ ha
Forêt de Fontainebleau (France)	$25000$ ha
Forêt de Rambouillet (France)	$22000$ ha
Paris (France)	$10540$ ha
Domaine de Chantilly (France)	$7830$ ha
Disneyland Paris (France)	$2230$ ha
Bois de Vincennes (France)	$995$ ha
Jardin de Versailles (France)	$815$ ha
Parc de Saint-Cloud (France)	$460$ ha
Central Park (États-Unis)	$341$ ha
Plaines d’Abraham (Canada)	$98$ ha
Champ-de-Mars (France)	$24, 3$ ha
Place de la Concorde (France)	$8, 6$ ha
Place de la République (France)	$3, 5$ ha
Base de la tour Eiffel (France)	$1, 25$ ha
Trafalgar Square (Royaume-Uni)	$1$ ha

Source : Wikipédia.

Formules de calcul d’aires

Propriété

Figure	Aire $A$
	$A = c \times c$
	$A = L \times ℓ$
	$A = (b \times h) \div 2$
	$A = (b \times h) \div 2$
	$A = π \times r \times r$

Déterminer l’aire de chacune des figures suivantes.

Un carré de côté $2$ cm.
$A_{1} =$
Un rectangle de longueur $5$ cm et de largeur $0, 2$ dam.
$A_{2} =$
Un triangle rectangle de hauteur $5$ dam et de base $2000$ mm.
$A_{3} =$
Un disque de diamètre $10$ mm.
$A_{4} =$

D’après les formules ci-dessus :

$A_{1} = 2 cm \times 2 cm = 4 cm²$ .
$A_{2} = 5 cm \times 200 cm = 1000 cm²$ .
$A_{3} = 0, 2 dam \times 5 dam \div 2 = 0, 5 dam²$ .
$A_{4} = π \times 10 mm \times 10 mm = 100 π mm² \approx 114, 16 mm²$ .

Aire d’une figure complexe

Méthodes

Pour calculer l’aire de certaines figures, on peut utiliser plusieurs méthode suivant les cas.

On décompose et on additionne.
On décompose et on soustrait.
On découpe et on déplace.

Calculer l’aire $A_{1}$ de la figure ci-dessous. Donner le résultat en cm².

$A_{1} =$
Calculer l’aire $A_{2}$ de la figure ci-dessous. Donner le résultat en cm².

$A_{2} =$
En déduire l’aire $A$ de la figure ci-dessous. Donner le résultat en cm².

$A =$

$A_{1} = 1, 25 cm \times 1, 25 cm = 1, 5625 cm²$ .
$A_{2} = 1, 25 cm \times 1, 25 cm \div 2 = 0, 78125 cm²$ .
$A = A_{1} + A_{2} = 2, 34375 cm²$ .

Calculer l’aire $A_{1}$ de la figure ci-dessous. Donner le résultat en cm².

$A_{1} =$
Calculer l’aire $A_{2}$ de la figure ci-dessous. Donner le résultat en cm².

$A_{2} =$
En déduire l’aire $A$ de la figure ci-dessous. Donner le résultat en cm².

$A =$

$A_{1} = π \times 1 cm \times 1 \div 2 cm = \frac{π}{2} cm² \approx 1, 57 cm²$ .
$A_{2} = 3 cm \times 2 cm \div 2 = 3 cm²$ .
$A = A_{2} - A_{1} = 3 - \frac{π}{2} cm² \approx 1, 43 cm²$ .

En déplaçant un morceau de la figure ci-dessous, calculer l’aire $A$ de celle-ci. Donner le résultat en cm².

tikzpicture-13

$A =$

tikzpicture-14

On obtient un rectangle de longueur $3$ cm et de largeur $2$ cm, dont l’aire $A$ est $A = 3 cm \times 2 cm = 6 cm²$ .