Algèbre et logique

Utiliser des modèles pré-algébriques pour résoudre des problèmes algébriques.
Identifier la structure d’un motif évolutif en repérant une régularité.

Algèbre

Problèmes algébriques

Définition

Un problème algébrique met en relation des quantités dont certaines sont connues et d’autres inconnues. En 6ème on le traduit d’abord par des mots, des dessins, des schémas (avant d’introduire une lettre l’année prochaine).

Thomas a $8$ stylos. A eux deux, Thomas et Léa ont $13$ stylos. On peut représenter cela par le schéma ci-dessous :

$Thomas 8 🖊 + L \overset{e}{ˊ} a ? 🖊 = Total 13 🖊$

Léa a donc $13 - 8 = 5$ stylos.

Schémas en barres

Définition

Un schéma en barbarresre est une représentation par rectangles qui permet de comparer, additionner ou répartir des quantités visuellement.

Lors d’une compétition de ski, 650 € sont répartis entre les trois premiers. Le premier reçoit deux fois plus que le troisième et le second reçoit 50 € de plus que le troisième.

On représente la part du troisième par . On obtient le schéma ci-dessous :

tikzpicture-2

Ainsi, le troisième reçoit $150 €$ , le second $150 € + 50 € = 200 €$ et le premier $2 \times 150 € = 300 €$ .

Pour la fête d’un village, on organise une course cycliste. Une prime totale de $320$ € sera répartie entre les trois premiers coureurs. Le premier touchera la prime d’or, le deuxième la prime d’argent et le troisième la prime de bronze.

La prime d’or s’élève à $70$ € de plus que la prime d’argent, et la prime de bronze à $80$ € de moins que la prime d’argent.

En utilisant un schéma en barres, donner la valeur en euros de chacune des primes.

On représente le montant de la prime d’argent par tikzpicture-3 .

tikzpicture-4

De ce schéma, on déduit :

tikzpicture-5

Ainsi, la prime d’argent vaut $110 €$ , la prime d’or vaut $110 € + 70 € = 180 €$ et la prime de bronze vaut $110 € - 80 € = 30 €$ .

Modèle de l’équilibre

Méthode

Une autre façon de représenter des problèmes algébriques (notamment ceux mettant en jeu des masses), est de schématiser une balance.

On pèse des melons et un ananas. En réalisant deux pesées, on obtient les résultats suivants :

at (0,0) balance ; at (-1.5,0.8) [above] ; at (-1.2,0.8) [above] ; at (-0.9,0.8) [above] ; at (-0.5,0.8) [above] ; at (1,0.8) [above] $7, 5$ kg;

at (0,0) balance ; at (-1.4,0.8) [above] ; at (-1.1,0.8) [above] ; at (-0.7,0.8) [above] ; at (1,0.8) [above] $5, 5$ kg;

at (7,0) [above] d’où : ; at (7,0) [below, font=, align=center] En remplaçant les deux ananas
et le melon dans la première balance.;

at (0,0) balance ; at (-1.5,0.8) [above] ; at (-0.75,0.8) [above] $5, 5$ kg; at (1,0.8) [above] $7, 5$ kg;

Ainsi, un ananas pèse $7, 5 kg - 5, 5 kg = 2 kg$ . En utilisant la deuxième balance, on obtient que le melon pèse $5, 5 kg - 2 \times 2 kg = 1, 5 kg$ .

On pèse des pommes et des poires. En réalisant deux pesées, on obtient les résultats suivants :

Fruits	🍎🍎🍎🍎🍐	🍎🍎🍐🍐
Poids (en g)	$620$	$500$

En procédant comme dans l’exemple ci-dessus, déterminer les poids d’une pomme et d’une poire.

On peut représenter la situation avec les deux balances ci-dessous.

at (0,0) balance ; at (-1.6,0.8) [above] ; at (-1.3,0.8) [above] ; at (-1,0.8) [above] ; at (-0.7,0.8) [above] ; at (-0.4,0.8) [above] ; at (1,0.8) [above] $680$ g;

at (0,0) balance ; at (-1.45,0.8) [above] ; at (-1.15,0.8) [above] ; at (-0.85,0.8) [above] ; at (-0.55,0.8) [above] ; at (1,0.8) [above] $520$ g;

De la deuxième balance, on en déduit :

at (0,0) balance ; at (-1.15,0.8) [above] ; at (-0.85,0.8) [above] ; at (1.0,0.8) [above] $260$ g;

On remplace dans la première balance :

at (0,0) balance ; at (-1.6,0.8) [above] ; at (-1.3,0.8) [above] ; at (-1,0.8) [above] ; at (-0.4,0.8) [above] $260$ g; at (1,0.8) [above] $680$ g;

Ainsi, trois pommes pèsent $680 g - 260 g = 420 g$ . Donc, une pomme pèse $420 g \div 3 = 140 g$ . En utilisant la première balance, une poire pèse $680 g - 4 \times 140 g = 120 g$ .

Motifs évolutifs

Définition

Un motif évolutif est une figure construite étape par étape suivant une règle simple (on ajoute un nombre fixe d’éléments, on multiplie, etc.). L’objectif est de repérer la règle qui relie le rang de l’étape au nombre d’éléments.

On considère un triangle équilatéral que l’on colorie en turquoise. À chaque étape, on trace dans chaque triangle turquoise un triangle plus clair qui a pour sommet les milieux des côtés du triangle turquoise.

tikzpicture-10

Cette construction porte un nom : c’est le triangle de Sierpiński. On peut déduire le nombre de triangles turquoises à une étape donnée.

À l’étape $1$ , il y en a $1$ .
À l’étape $2$ , il y en a $3$ .
…
À l’étape $6$ , il y en a $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$ .

La mosaïque est un art décoratif que l’on retrouve dans beaucoup de constructions. Voici un exemple de mosaïque où des carreaux colorés sont disposés autour de carreaux blancs formant un carré.

tikzpicture-11

Combien y a-t-il de carreaux colorés entourant le carré blanc de taille $1$ ? Celui de taille $2$ ? Celui de taille $3$ ?
Produire un calcul qui donne le nombre de carreaux colorés entourant un carré blanc de taille $7$ , puis de taille $56$ .

Il y a $8$ carreaux colorés entourant le carré blanc de taille $1$ ; $12$ carreaux colorés entourant le carré blanc de taille $2$ et $16$ carreaux colorés entourant le carré blanc de taille $3$ .
Pour le carré de taille $7$ , il suffit de calculer $4 \times 7 + 4$ soient $32$ carreaux colorés. Et pour le carré de taille $56$ , on en fait de même : $4 \times 56 + 4$ soient $228$ carreaux colorés.