Division

Connaître des procédures élémentaires de calcul, notamment diviser un nombre décimal par $10$ , par $100$ , par $1000$ .
Connaître les critères de divisibilité par $2$ , $3$ , $5$ , $9$ et $10$ .
Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour effectuer la division euclidienne d’un entier par un entier.
Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour effectuer la division d’un nombre décimal (entier ou non) par un nombre entier.

Multiples et diviseurs

Définition

On dit qu’un nombre entier est un multiple d’un autre, si ce nombre est dans la table de multiplication de l’autre. On dit également que cet autre nombre est un diviseur du premier nombre. On a la relation suivante : $multiple = diviseur \times quotient$

Dresser la liste des diviseurs des nombres suivants.

$6$ :
$21$ :
$15$ :
$11$ :

On calcule : $21 \approx 4, 58$ . Il suffit de tester la divisibilité de $21$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$ .
- $21 = 1 \times 21$ , donc $1$ et $21$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 2 \times 10 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $2$ .
- $21 = 3 \times 7$ , donc $3$ et $7$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 4 \times 5 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $4$ .
Les diviseurs de $21$ sont donc $1$ ; $3$ ; $7$ et $21$ .
On calcule : $6 \approx 2, 45$ . Il suffit de tester la divisibilité de $6$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $2$ .
- $6 = 1 \times 6$ , donc $1$ et $6$ sont des diviseurs de $6$ .
- $6 = 2 \times 3$ , donc $2$ et $3$ sont des diviseurs de $6$ .
Les diviseurs de $6$ sont donc $1$ ; $2$ ; $3$ et $6$ .
On calcule : $15 \approx 3, 87$ . Il suffit de tester la divisibilité de $15$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $15 = 1 \times 15$ , donc $1$ et $15$ sont des diviseurs de $15$ .
- $15 = 2 \times 7 + 1$ , donc $15$ n’est pas divisible par $2$ .
- $15 = 3 \times 5$ , donc $3$ et $5$ sont des diviseurs de $15$ .
Les diviseurs de $15$ sont donc $1$ ; $3$ ; $5$ et $15$ .
On calcule : $11 \approx 3, 32$ . Il suffit de tester la divisibilité de $11$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $11 = 1 \times 11$ , donc $1$ et $11$ sont des diviseurs de $11$ .
- $11 = 2 \times 5 + 1$ , donc $11$ n’est pas divisible par $2$ .
- $11 = 3 \times 3 + 2$ , donc $11$ n’est pas divisible par $3$ .
Les diviseurs de $11$ sont donc $1$ et $11$ .

Compléter la phrase suivante.

J’ai $100$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre pommes par carton, car .

J’ai $100$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre $20$ pommes par carton, car $100 = 5 \times 20$ .

Propriété

Tout nombre entier est divisible par $1$ et par lui-même.

Propriétés

Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$ .
Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ .
Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ .
Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .
Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$ .

Divisions euclidienne et décimale

Division euclidienne

Définition

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un autre différent de $0$ (le diviseur), c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, tels que : $dividende = diviseur \times quotient + reste$ Le reste étant toujours inférieur au diviseur.

Compléter la phrase suivante.

J’ai $101$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre pommes par carton et il en restera , car .

J’ai $101$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre $20$ pommes par carton, car $101 = 5 \times 20 + 1$ .

Poser et effectuer la division euclidienne de $621$ par $3$ .

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Propriété

Si, à l’issue de la division euclidienne d’un nombre par un autre, le reste vaut $0$ ; alors, le premier nombre est divisible par le second.

Expliquer de deux manières différentes pourquoi $621$ est divisible par $3$ .

Le reste de la division euclidienne de $621$ par $3$ vaut $0$ (voir l’exercice précédent).
$6 + 2 + 1 = 9 = 3 \times 3$ , donc le critère de divisibilité par $3$ est vérifié par $621$ .

Division décimale

Définition

Effectuer la division décimale d’un nombre décimal (le dividende) par un nombre entier différent de $0$ (le diviseur), c’est chercher un nombre, le quotient, tel que : $dividende = diviseur \times quotient$ On écrit alors $dividende \div diviseur = quotient$ . Le symbole $\div$ a la même priorité que le symbole $\times$ .

Poser et effectuer la division décimale de $5, 12$ par $4$ .

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Poser et effectuer la division décimale de $5$ par $3$ .

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Constatons ici que la division décimale ne se termine pas car les restes successifs se répètent. C’est une illustration de la propriété qui suit.

Propriété

Quand on pose la division décimale de deux nombres, deux situations peuvent se présenter.

Un des restes obtenus est nul : le quotient est alors un nombre décimal et sa valeur est exacte.
Les restes successifs semblent se répéter et la division ne se termine pas. Dans ce cas, l’écriture du quotient ne peut pas être exacte et on en donne une valeur approchée : le quotient n’est pas un nombre décimal.

Division par une puissance de $10$

Propriété

Quand on divise un nombre décimal par $10$ , le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des centièmes, ...
Quand on divise un nombre décimal par $100$ , le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des millièmes, ...
Et cetera.

Effectuer mentalement les opérations suivantes.