Droites

Tracer avec l’équerre la droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné.
Tracer avec la règle et l’équerre la droite parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
Reconnaître, nommer, décrire des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) : triangles, dont les triangles particuliers et quadrilatères, dont les quadrilatères particuliers.

Droites perpendiculaires

Définition

Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés lorsque l’on peut tracer une ligne droite passant par ces trois points.
Si $A$ et $B$ sont deux points distincts, la droite $(A B)$ est l’ensemble de tous les points alignés avec $A$ et $B$ .
Une droite est illimitée : on peut toujours prolonger la ligne en plaçant d’autres points alignés avec ceux déjà tracés.
Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point, appelé point d’intersection.

Avec la règle, tracer la droite $(A B)$ . Puis, tracer une droite $(d)$ sécante avec $(A B)$ . Appeler $I$ le point d’intersection.

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Définition

Deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et forment un angle droit. On note cela avec le symbole $⊥$ .

Avec la règle, tracer la droite $(A B)$ . Ensuite, avec l’équerre, tracer une droite $(d)$ perpendiculaire à $(A B)$ . Appeler $I$ le point d’intersection.

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Définition

Soit $A BC$ un triangle. La hauteur du triangle $A BC$ issue de $A$ est la droite passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $(BC)$ .

Dans les deux triangles $A BC$ ci-dessous, avec l’équerre, tracer la hauteur du triangle $A BC$ issue de $A$ . Appeler $(h)$ cette hauteur et $I$ le point d’intersection entre $(h)$ et $(BC)$ .

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Droites parallèles

Définition

Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes. On note cela avec le symbole $/ /$ .

Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ n’ont aucun point commun. Donc $(d_{1}) / / (d_{2})$ .

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Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont confondues. Donc $(d_{1}) / / (d_{2})$ .

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Théorèmes

Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Je sais $(d_{1}) / / (d_{3})$ et $(d_{2}) / / (d_{3})$ . J’en conclus $(d_{1}) / / (d_{2})$ .
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Je sais $(d_{1}) ⊥ (d_{3})$ et $(d_{2}) ⊥ (d_{3})$ . J’en conclus $(d_{1}) / / (d_{2})$ .
Si deux droites sont parallèles, et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre.

Je sais $(d_{1}) / / (d_{2})$ et $(d_{1}) ⊥ (d_{3})$ . J’en conclus $(d_{2}) ⊥ (d_{3})$ .

Sachant que $(d_{2}) / / (d_{3})$ et que $(d_{4}) ⊥ (d_{2})$ , montrer que $(d_{3}) ⊥ (d_{4})$ .

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On sait que $(d_{2}) / / (d_{3})$ et que $(d_{2}) ⊥ (d_{4})$ . Or, si deux droites sont parallèles, et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre. Donc, $(d_{3}) ⊥ (d_{4})$ .

Reconnaissance et construction de figures

Parallélogrammes

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

Sachant que $(A D) / / (BC)$ et $(A B) / / (D C)$ , justifier que le quadrilatère $A BC D$ ci-contre est un parallélogramme.

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Les côtés opposés du quadrilatère $A BC D$ sont $(A D)$ ; $(BC)$ et $(A B)$ ; $(D C)$ . Ceux-ci sont parallèles, donc $A BC D$ est un parallélogramme.

Rectangles

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

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En utilisant les points ci-dessous, tracer un rectangle.

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Propriété

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont deux à deux parallèles et de même longueur. En particulier, les rectangles sont des parallélogrammes.