Fractions

Connaître diverses désignations des fractions : orales, écrites et décompositions additives et multiplicatives.
Connaître et utiliser quelques fractions simples comme opérateur de partage en faisant le lien entre les formulations en langage courant et leur écriture mathématique.
Utiliser des fractions pour rendre compte de partages de grandeurs ou de mesures de grandeurs. Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée.
Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs. Comparer deux fractions de même dénominateur.
Connaître des égalités entre des fractions usuelles.
Utiliser des fractions pour exprimer un quotient.

Fraction quotient

Notion de fraction quotient

Définition

Le quotient d’un nombre entier $a$ par un nombre entier non nul $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ . On le note $a \div b$ ou $\frac{a}{b}$ .

Compléter les affirmations ci-dessous.

$\frac{12}{7}$ est le de $12$ par $7$ .
C’est le nombre qui, multiplié par , donne $12$ . On a donc $\times = 12$ .

$\frac{12}{7}$ est le quotient de $12$ par $7$ .
C’est le nombre qui, multiplié par $7$ , donne $12$ . On a donc $\frac{12}{7} \times 7 = 12$ .

Définition

Le nombre $\frac{a}{b}$ est une fraction.
L’écriture $\frac{a}{b}$ est appelée écriture fractionnaire.

Donner l’écriture décimale de la fraction $\frac{26}{5}$ .

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L’écriture décimale de la fraction $\frac{26}{5}$ est $5, 2$ .

Donner l’écriture décimale de la fraction $\frac{2}{3}$ . Que constatez-vous ?

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La division ne s’arrête pas : la fraction $\frac{2}{3}$ n’admet pas d’écriture décimale à proprement parler. On peut cependant en donner une valeur approchée : $\frac{2}{3} \approx 0, 667$ (valeur approchée au millième).

Remarque

Une fraction / un quotient n’est pas toujours un nombre décimal.

Placement sur une demi-droite graduée

Méthode

Pour placer la fraction $\frac{a}{b}$ sur une demi-droite graduée, on partage l’unité en $b$ segments de même longueur, puis on reporte $a$ fois cette longueur à partir de zéro.

Placer les fractions $\frac{2}{4}$ et $\frac{5}{4}$ sur la demi-droite graduée ci-dessous.

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Partageons l’unité en quatre parts égales, puis utilisons ces nouvelles graduations pour placer les fractions.

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Comparaison, égalité et encadrement de fractions

Méthode

Pour comparer ou établir une égalité entre deux fractions, on peut :

Utiliser une demi-droite graduée.
Comparer les numérateurs (si les deux fractions ont le même dénominateur).

Placer les fractions $\frac{2}{4}$ , $\frac{5}{10}$ , $\frac{4}{6}$ , $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{6}$ sur la demi-droite graduée ci-dessous.

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Quelles fractions sont égales ?

Il faut ajouter des graduations intermédiaires avant de placer les fractions. On peut partager l’unité en deux pour placer la fraction $\frac{1}{2}$ :

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On la partage ensuite en quatre pour placer la fraction $\frac{2}{4}$ :

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On la partage de nouveau en six pour placer les fractions $\frac{4}{6}$ et $\frac{3}{6}$ :

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Enfin, on la partage en dix pour placer la fraction $\frac{5}{10}$ :

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On remarque que $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}$ .

Comparer $\frac{25}{8}$ , $\frac{3}{8}$ et $\frac{17}{8}$ .

Il suffit de placer ces fractions sur une demi-droite graduée pour les comparer.

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Ainsi, $\frac{3}{8} < \frac{17}{8} < \frac{15}{8}$ .

Une manière plus simple pour comparer des fractions de même dénominateur est d’utiliser la méthode qui suit.

Méthode

Pour comparer deux fractions de même dénominateur, on peut comparer leur numérateur.

Propriété

Toute fraction peut être encadrée par deux nombres entiers consécutifs. En effet, on a $q \leq \frac{a}{b} \leq q + 1$ où $q$ est le quotient de la division euclidienne de $a$ par $b$ .

Quel est le quotient de la division euclidienne de $123$ par $17$ ?
Encadrer $\frac{123}{17}$ par deux entiers consécutifs.
Utiliser la question précédente pour placer approximativement $\frac{123}{17}$ sur la demi-droite graduée ci-dessous.

Il suffit d’effectuer la division euclidienne.

Le quotient de cette division euclidienne est $7$ .
Par la propriété précédente, $7 < \frac{123}{17} < 8$ .
On peut donc placer $\frac{123}{17}$ sur la demi-droite graduée ci-dessous, entre $7$ et $8$ .

Calcul avec des fractions

Multiplication du numérateur et du dénominateur

Propriété

Une fraction ne change pas de valeur si l’on multiplie ou si l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Mettre les fractions suivantes au même dénominateur.

$\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{4}$ :
$\frac{5}{6}$ et $\frac{5}{3}$ :
$\frac{10}{2}$ et $\frac{4}{1}$ :
$\frac{7}{8}$ et $\frac{9}{4}$ :
$\frac{1}{10}$ et $\frac{1}{9}$ :
$\frac{11}{4}$ et $\frac{4}{3}$ :

$\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{4}$ : $\frac{2}{4}$ et $\frac{5}{4}$ .
$\frac{5}{6}$ et $\frac{5}{3}$ : $\frac{5}{6}$ et $\frac{10}{6}$ .
$\frac{10}{2}$ et $\frac{4}{1}$ : $\frac{10}{2}$ et $\frac{8}{2}$ .
$\frac{7}{8}$ et $\frac{9}{4}$ : $\frac{7}{8}$ et $\frac{18}{8}$ .
$\frac{1}{10}$ et $\frac{1}{9}$ : $\frac{2}{90}$ et $\frac{10}{90}$ .
$\frac{11}{4}$ et $\frac{4}{3}$ : $\frac{33}{12}$ et $\frac{16}{12}$ .

Règles de calcul

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, alors on les met au même dénominateur avant d’additionner (ou soustraire) les numérateurs.

Effectuer les calculs suivants.

$\frac{12}{5} + \frac{8}{5}$ =
$\frac{4}{6} + \frac{2}{6}$ =
$\frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ =
$\frac{1}{20} + \frac{9}{20}$ =
$\frac{1}{5} + \frac{1}{10}$ =
$\frac{3}{4} + \frac{5}{2}$ =

$\frac{12}{5} + \frac{8}{5} = \frac{12 + 8}{5} = \frac{20}{5} = \frac{4}{1} = 4$ .
$\frac{4}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$ .
$\frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ .
$\frac{1}{20} + \frac{9}{20} = \frac{1 + 9}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ .
$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 1}{10} = \frac{3}{10}$ .
$\frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{3}{4} + \frac{10}{4} = \frac{3 + 10}{4} = \frac{13}{4}$ .

Propriété

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur par ce nombre entier et on garde le dénominateur.

Effectuer les calculs suivants.

$\frac{5}{2} \times 4$ =
$\frac{10}{3} \times 10$ =
$\frac{9}{7} \times 8$ =
$\frac{1}{5} \times 3$ =
$\frac{4}{4} \times 121$ =
$\frac{5}{2} \times 2$ =

$\frac{5}{2} \times 4 = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = \frac{10}{1} = 10$ .
$\frac{10}{3} \times 10 = \frac{10 \times 10}{3} = \frac{100}{3}$ .
$\frac{9}{7} \times 8 = \frac{9 \times 8}{7} = \frac{72}{7}$ .
$\frac{1}{5} \times 3 = \frac{1 \times 3}{5} = \frac{3}{5}$ .
$\frac{4}{4} \times 121 = \frac{4 \times 121}{4} = \frac{484}{4} = \frac{121}{1} = 121$ .
$\frac{5}{2} \times 2 = 5$ (car $\frac{5}{2}$ est le nombre qui multiplié par $2$ donne $5$ ).

Propriété

Multiplier une quantité par une fraction revient à calculer la fraction de cette quantité.

Multiplier une quantité par $0, 1$ revient à calculer $\frac{1}{10}$ de cette quantité : $7 \times 0, 1 = 7 \times \frac{1}{10} = 0, 7$ .
Multiplier une quantité par $0, 5$ revient à calculer $\frac{1}{2}$ (soit la moitié) de cette quantité : $12 \times 0, 5 = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ .

Une bouteille contient trois quarts de litre de jus de fruits.

Combien de quarts de litre y a-t-il dans une caisse de six bouteilles ?
Salomé ouvre une bouteille et en boit un dixième, Raphaëlle deux dixièmes et Carla cinq dixièmes. Ont-elles fini la bouteille ?

$6 \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4}$ Il y a $18$ quarts de litre dans une caisse de six bouteilles.
$\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}$ Les filles ont bu $\frac{8}{10}$ de la bouteille : celle-ci n’est donc pas terminée car il en reste les $\frac{2}{10}$ de sa contenance initiale.

Romane a gagné $1450$ € ce mois-ci et elle en a dépensé les $\frac{3}{50}$ pour payer sa facture d’électricité. Quel est le montant de sa facture ?

$1450 \times \frac{3}{50} = \frac{4350}{50} = \frac{87}{1} = 87$ Le montant de sa facture d’électricité est de $87$ €.