Longueur et périmètre

Connaître les unités relatives aux longueurs et les relations qui les lient.
Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure.
Calculer le périmètre d’un polygone en ajoutant les longueurs de ses côtés.
Calculer le périmètre d’un carré, d’un rectangle ou d’un cercle en utilisant une formule.

Segments

Définition et notation

Définition

Un segment est une portion de droite délimitée par deux points que l’on appelle extrémités du segment. Le segment d’extrémités $A$ et $B$ se note $[A B]$ .

Tracer la droite passant par $L$ et $E$ , puis repasser en rouge le segment d’extrémités $L$ et $E$ .
Compléter les phrases suivantes.
1. Le segment d’extrémités $L$ et $E$ se note . À ne pas confondre avec la droite passant par $L$ et $E$ qui se note .
2. $O$ n’appartient pas au segment . On note ceci .
3. $O$ appartient à la droite . On note ceci .
4. Les points $L$ , $E$ et $O$ sont situés sur une même droite, ils sont dits .

1. Le segment d’extrémités $L$ et $E$ se note $[L E]$ . À ne pas confondre avec la droite passant par $L$ et $E$ qui se note $(L E)$ .
2. $O$ n’appartient pas au segment $[L E]$ . On note ceci $O \in / [L E]$ .
3. $O$ appartient à la droite $(L E)$ . On note ceci $O \in (L E)$ .
4. Les points $L$ , $E$ et $O$ sont situés sur une même droite, ils sont dits alignés.

Longueur

Notation

On note $A B$ la longueur du segment $[A B]$ . Celle-ci s’exprime dans une unité de longueur (qui peut être le mètre, le centimètre, le pouce ou le mille par exemple).

Coder de la même manière les segments qui sont de même longueur.

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Méthode

L’unité de longueur de référence est le mètre. Pour convertir des unités de longueur, on effectue des multiplications ou des divisions par $10$ . On peut pour cela s’aider d’un tableau de conversion.

km	hm	dam	m	dm	cm	mm

En utilisant le tableau ci-dessus (si besoin), effectuer les conversions suivantes.

$1406$ mm = m
$604$ dam = cm
$10, 2$ km = hm
$5, 8$ dm = m

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$1,$	$4$	$0$	$6$
$6$	$0$	$4$	$0$	$0$	$0$
$10$	$2$
			$0,$	$5$	$8$

$1406$ mm = $1, 406$ m
$604$ dam = $604000$ cm
$10, 2$ km = $102$ hm
$5, 8$ dm = $0, 58$ m

Médiatrice

Définitions

Le milieu d’un segment $[A B]$ est le point de $[A B]$ situé à égale distance de $A$ et $B$ .
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui le coupe en son milieu.

Tracer le segment $[I J]$ , puis tracer sa médiatrice $(m)$ .
Placer un point $K$ sur $(m)$ , puis compléter.
1. $I K =$ cm
2. $J K =$ cm

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1. $I K = 2, 08$ cm
2. $J K = 2, 08$ cm

Propriété

La médiatrice d’un segment est constituée de l’ensemble des points qui sont situés à égale distance des deux extrémités.

Sur la figure ci-contre, placer trois points à égale distance de $M$ et de $N$ .

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Calcul de périmètres

Définition

Le périmètre d’une figure géométrique est la longueur de son contour.

Remarque

On peut comparer les périmètres de deux polygones sans les mesurer. Pour ce faire, on peut utiliser un compas et reporter successivement les mesures des côtés des deux polygones sur une droite.

Périmètre d’un polygone

Propriété

Le périmètre d’un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.

Coder la figure $TR I$ . De quelle figure s’agit-il ?
Calculer le périmètre $P$ de $TR I$ .

$P =$

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Voici la figure une fois codée.

Il s’agit d’un triangle rectangle.
On obtient son périmètre $P$ en additionnant les longueurs de ses côtés.

$P = TR + R I + I T = 3 \times 1, 5 cm = 4, 5 cm$

Propriétés

Le périmètre $P$ d’un losange (et donc d’un carré) est égal à quatre fois la longueur $ℓ$ de son côté. $P = 4 \times ℓ$
Le périmètre $P$ d’un rectangle est égal à la somme du double de sa longueur $L$ et du double de sa largeur $ℓ$ . $P = 2 \times L + 2 \times ℓ = 2 \times (L + ℓ)$

Coder la figure $G I R L$ et calculer son périmètre $P$ .

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$P =$

Voici la figure une fois codée.

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Il s’agit d’un carré de côté $ℓ = 2, 5$ cm. On obtient son périmètre $P$ en utilisant la formule précédente.

$P = 4 \times ℓ = 4 \times 2, 5 cm = 10 cm$

Coder la figure $BO Y S$ et calculer son périmètre $P$ .

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$P =$

Voici la figure une fois codée.

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Il s’agit d’un rectangle de longueur $L = 4$ cm et de largeur $ℓ = 2, 5$ cm. On obtient son périmètre $P$ en utilisant la formule précédente.

$P = 2 \times (L + ℓ) = 2 \times 6, 5 cm = 13 cm$

Périmètre d’un cercle

Propriété

Le périmètre (ou plus précisément la circonférence) $P$ d’un cercle est égal au produit de son diamètre $d$ par le nombre $π$ . $P = d \times π$

Calculer le périmètre $P$ du cercle $C$ de centre $O$ ci-dessous (arrondir le résultat au centième).

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$P =$

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Il s’agit d’un cercle de rayon $r = 1, 7$ cm, donc de diamètre $d = 2 \times r = 3, 4$ cm. On obtient son périmètre $P$ en utilisant la formule précédente.

$P = π \times 3, 4 cm \approx 10, 68 cm$

Calculer la circonférence d’un cercle de rayon $5$ cm (arrondir le résultat au dixième).
Calculer la longueur d’un cercle de diamètre $10$ cm (arrondir le résultat au dixième).
Calculer le périmètre d’un demi-cercle de diamètre $20$ cm (donner le résultat exact).

La circonférence d’un cercle de rayon $5$ cm arrondie au dixième vaut $π \times 2 \times 5 c m = 10 π = 31, 4 c m$ .
Un cercle de diamètre $10$ cm a un rayon de $5$ cm, donc la réponse est la même que la précédente.
Le périmètre d’un demi-cercle de rayon $20$ cm vaut exactement $π \times 20 c m \div 2 = 10 π c m$ .

Propriété

Le nombre $π$ n’est pas un nombre décimal : il possède une infinité de chiffres après la virgule. $π = 3, 141592653589793 \dots$

Approcher $π$ avec la précision demandée.

Précision à l’unité.
Précision au dixième.
Précision au centième.

Une valeur approchée de $π$ à l’unité près est $3$ .
Une valeur approchée de $π$ au dixième près est $3, 1$ .
Une valeur approchée de $π$ au centième près est $3, 14$ .