Nombres entiers

Connaître les unités de la numération décimale pour les nombres entiers (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et les relations qui les lient.
Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers.
Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.
Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour effectuer des additions, soustractions et des multiplications.
Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant un ordre de grandeur.
Calculer la durée écoulée entre deux instants donnés.
Déterminer un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée. Connaître et utiliser les unités de mesure des durées et leurs relations.

Écriture et calculs

Système de numération

Définition

$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ et $9$ sont les dix chiffres qui permettent d’écrire tous les nombres entiers de la même manière que les lettres de $A$ à $Z$ permettent d’écrire tous les mots. Chaque chiffre a une valeur en fonction de sa position dans le nombre :

$1$ dizaine = $10$ unités.
$1$ centaine = $10$ dizaines.
$1$ millier = $10$ centaines.
$1$ million = $1000$ milliers.
$1$ milliard = $1000$ millions.

Combien le nombre $25204879603$ possède-t-il de chiffres ?

Compléter le tableau suivant avec ce nombre.

Classe des milliards			Classe des millions			Classe des milliers			Classe des unités
Centaines	Dizaines	Unités	Centaines	Dizaines	Unités	Centaines	Dizaines	Unités	Centaines	Dizaines	Unités

Décomposer ce nombre.
Lire ce nombre.

Ce nombre possède $11$ chiffres.

Classe des milliards			Classe des millions			Classe des milliers			Classe des unités
Centaines	Dizaines	Unités	Centaines	Dizaines	Unités	Centaines	Dizaines	Unités	Centaines	Dizaines	Unités
	$2$	$5$	$2$	$0$	$4$	$8$	$7$	$9$	$6$	$0$	$3$

$25204879603 = 2 \times 10000000000 + 5 \times 1000000000 + 2 \times 100000000 + 0 \times 10000000 + 4 \times 1000000 + 8 \times 100000 + 7 \times 10000 + 9 \times 1000 + 6 \times 100 + 0 \times 10 + 3 \times 1$ .
Vingt-cinq-milliards-deux-cent-quatre-millions-huit-cent-soixante-dix-neuf-mille-six-cent-trois.

Calculer avec des nombres entiers

Définitions

Dans une addition, on ajoute des termes, et le résultat est une somme.
Dans une soustraction, on soustrait des termes, et le résultat est une différence.
Dans une multiplication, on multiplie des facteurs, et le résultat est un produit.

Quelle est la somme de $67$ et $345$ ?

tikzpicture-1

La somme de $67$ et $345$ est $412$ .

Définition

Effectuer la division euclidienne de deux nombres, c’est trouver le quotient et le reste entiers de sorte à avoir : $dividende = diviseur \times quotient + reste$ Le reste de la division est inférieur au diviseur. Lorsque celui-ci est nul, on dit que le dividende est un multiple du diviseur.

Effectuer la division euclidienne de $621$ par $3$ , puis compléter la phrase ci-dessous.

Le reste vaut , et cela aurait pu se prévoir car

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Le reste vaut $0$ , et cela aurait pu se prévoir car $621$ est divisible par $3$ (le critère de divisibilité par $3$ est vérifié : $6 + 2 + 1 = 9 = 3 \times 3$ ).

Propriété

Dans une succession d’additions, on peut changer l’ordre des termes et les regrouper. Idem pour une succession de multiplications et l’ordre des facteurs.

$35 + 76 + 15 = 35 + 15 + 76 = 50 + 76 = 126$ .
$5 \times 36 \times 2 = 2 \times 5 \times 36 = 10 \times 36 = 360$ .

Méthode

On utilise :

Une addition lorsqu’il faut ajouter ou totaliser.
Une soustraction lorsqu’il faut enlever ou trouver le complément permettant d’aller d’un nombre à l’autre.
Une multiplication lorsqu’il faut ajouter plusieurs fois le même nombre.
Une division lorsqu’il faut faire un partage équitable.

Younes a $37$ € dans sa tirelire. Sa grand-mère lui donne $15$ € qu’il rajoute immédiatement dans sa tirelire. Il décide de s’acheter un jeu-vidéo à $29$ € grâce à son argent. Combien d’argent contient maintenant sa tirelire ?

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Il a maintenant $23$ € dans sa tirelire.

Mme Picasso a commandé $300$ pots de peinture pour l’école à $3$ € l’unité. Combien va-t-elle payer ?
Elle souhaite les distribuer équitablement aux $18$ salles de classe. Combien chaque classe recevra-t-elle de pots ?

Elle va payer $900$ €.
Chaque classe en recevra $16$ et il en restera $12$ .

Estimer un ordre de grandeur

Définition

Un ordre de grandeur est un nombre proche de celui-ci et facile à utiliser en calcul mental. Un ordre de grandeur n’est pas unique : on peut donner des ordres de grandeurs différents selon la précision voulue.

La population française était de 67407241 habitants au 1 janvier 2021. Un ordre de grandeur de cette population est $70$ millions d’habitants (on pourrait également choisir $100$ millions ou $67$ millions).

Source : Insee.

Méthode

Pour estimer un ordre de grandeur du résultat d’une opération, on peut remplacer chaque terme ou facteur par un nombre proche qui permet de calculer mentalement.

Donner un ordre de grandeur de la somme $1243 + 519 + 198$ .

$1243 + 519 + 198 \approx 1200 + 500 + 200 = 1900$

Donner un ordre de grandeur du produit $318 \times 21$ .

$318 \times 21 \approx 300 \times 20 = 6000$

Durées

Conversion

Définition

Le temps écoulé entre deux instants s’appelle une durée. L’unité de référence pour mesurer une durée est la seconde, mais on en a d’autres :

Multiples de l’unité			Unité
Jour	Heure	Minute	Seconde
$1$ j = $24$ h	$1$ h = $60$ min	$1$ min = $60$ sec	$1$ sec

Il est plus compliqué de travailler avec des unités de temps qu’avec des unités de longueur ou de masse.

Combien y a-t-il de minutes dans $5$ h $27$ min ?
Combien y a-t-il de secondes dans $2$ h $47$ min $53$ sec ?
Combien y a-t-il d’heures, de minutes et secondes dans $41000$ sec ?

Dans $5$ h, il y a $5 \times 60 = 300$ min. Donc, dans $5$ h $27$ min, il y a $300 + 27 = 327$ min.
Dans $2$ h, il y a $2 \times 60 \times 60 = 7200$ sec. Dans $47$ min, il y a $47 \times 60 = 2820$ sec. Donc, dans $2$ h $47$ min $53$ sec, il y a $7200 + 2820 + 53 = 10073$ sec.
Par division euclidienne, $41000 = 683 \times 60 + 20$ . Donc, dans $41000$ sec, il y a $683$ min $20$ sec. De même, par division euclidienne, $683 = 11 \times 60 + 23$ . Donc, dans $683$ min, il y a $11$ h $23$ min. Pour conclure, dans $41000$ , il y a $11$ h $23$ min $20$ sec.