Probabilités

Savoir que la probabilité d’un évènement est un nombre compris entre $0$ et $1$ .
Calculer des probabilités dans des situations simples d’équiprobabilité.
Comparer des résultats d’une expérience aléatoire répétée à une probabilité calculée.

Vocabulaire

Expériences aléatoires

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont les différents résultats possibles appelés issues sont connus mais dont on ne sait pas, a priori, lequel va se produire.

On dispose d’un dé à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et on le lance. On note le numéro obtenu.

Justifier qu’il s’agit d’une expérience aléatoire.
Lister les différentes issues.

Il s’agit bien d’une expérience aléatoire car le résultat final (le numéro obtenu) dépend du hasard. On sait ce qu’on peut obtenir, mais on ne sait pas ce qu’on va obtenir.
- Obtenir $1$ ;
- Obtenir $2$ ;
- Obtenir $3$ ;
- Obtenir $4$ ;
- Obtenir $5$ ;
- Obtenir $6$ .

Événements

Définition

Un événement désigne un ensemble d’issues. Si le résultat de l’expérience aléatoire est une des issues de l’événement, on dit que l’événement est réalisé.

Un événement peut être décrit par une phrase ou par la liste des issues qui le réalisent.

On considère l’expérience aléatoire de l’exercice précédent et l’événement Obtenir un nombre pair.

Quelles issues réalisent cet événement ?

Les issues qui réalisent cet événement sont : Obtenir $2$ , Obtenir $4$ et Obtenir $6$ .

Probabilité d’un événement

Définition

La probabilité d’une issue est un nombre compris entre $0$ et $1$ , qui peut s’interpréter comme la proportion de chances d’obtenir cette issue.

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On dit que les issues d’une expérience sont équiprobables si elles ont la même probabilité.

Propriétés

La somme des probabilités de toutes les issues est égale à $1$ .
Si une expérience aléatoire comporte $n$ issues équiprobables, la probabilité de chacune d’elles vaut $\frac{1}{n}$ .

Dans un sac se trouvent trois boules : une blanche, une bleue et une rouge. On en tire une au hasard.

Compléter le tableau ci-dessous en écrivant les issues possibles dans la première colonne et la probabilité correspondante dans la deuxième.

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche

Tirer la boule bleue

Tirer la boule rouge
A-t-on une situation d’équiprobabilité ?
Que vaut la somme des probabilités de la deuxième colonne ?

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche
Tirer la boule bleue
Tirer la boule rouge

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche $\frac{1}{3}$

Tirer la boule bleue $\frac{1}{3}$

Tirer la boule rouge $\frac{1}{3}$
Oui : chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
Elle vaut $1$ d’après la propriété précédente. Cela peut se vérifier facilement : $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ .

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule bleue	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule rouge	$\frac{1}{3}$

Définition

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

Dans l’exercice précédent, quelle est la probabilité de l’événement Tirer une boule colorée ?

On note $A$ l’événement Tirer une boule colorée. Alors, sa probabilité est égale à : $probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule bleue” \frac{1}{3} + probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule rouge” \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Lien avec les statistiques

Théorème

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est la probabilité de cet événement.

Avec Scratch, on a simulé un grand nombre de lancers d’une pièce de monnaie équilibrée, et on a obtenu les résultats suivants.

Nombre de lancers	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
Nombre de Pile	$51$	$477$	$5074$	$50026$
Nombre de Face	$49$	$523$	$4926$	$49974$

Calculer les proportions de Pile et de Face parmi les $100000$ .
Dans un lancer de pièce équilibrée, quelle est la probabilité d’obtenir Pile ? Et d’obtenir Face ?
Qu’observe-t-on ?

Notons $f_{P}$ la proportion de Pile et $f_{F}$ la proportion de Face. On a : $f_{P} = \frac{50 026}{100 000} = 0, 50026 et f_{F} = \frac{49 974}{100 000} = 0, 49974$
Notons $p_{P}$ la probabilité d’obtenir Pile et $p_{F}$ la probabilité d’obtenir Face. On a : $p_{P} = 0, 5 et p_{F} = 0, 5$
Pour $100000$ lancers, $f_{P}$ est très proche de $p_{P}$ et de même, $f_{F}$ est très proche de $p_{F}$ .

C’est la loi des grands nombres : c’est sur cette loi que reposent la plupart des sondages. Ils interrogent un nombre suffisamment important de personnes pour connaître l’opinion (probable) de la population entière.

C’est aussi sur cette loi que se basent les modèles d’expected goals au football.

Expériences aléatoires à plusieurs épreuves

Définition

La succession de deux épreuves aléatoires constitue une expérience aléatoire à deux épreuves. Pour étudier une telle expérience aléatoire, on peut utiliser un arbre de probabilités ou un tableau à double entrée.

Une urne contient deux boules : une blanche et une rouge. On tire une première boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne. On en fait de même avec une deuxième boule.

On note :

$B$ l’événement Tirer une boule blanche.
$R$ l’événement Tirer une boule rouge.

Les événements sont équiprobables, et c’est une expérience aléatoire à deux épreuves que l’on peut représenter par l’arbre ci-dessous.

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La probabilité de tirer deux fois la boule blanche est donnée par l’arbre : une seule branche sur les quatre nous y conduit. Donc, elle est égale à $\frac{1}{4}$ .

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. On note $P$ l’événement Obtenir Pile et $F$ l’événement Obtenir Face.

Représenter cette expérience aléatoire dans un tableau à double entrée.
Quelle est la probabilité d’obtenir une fois Face et une fois Pile ?