Calcul littéral et équations

Développer (par simple et double distributivités), factoriser, réduire des expressions algébriques simples.
Factoriser une expression du type $a^{2} - b^{2}$ et développer des expression du type $(a + b) (a - b)$ .
Résoudre algébriquement différents types d’équations.

Calcul littéral

Rappel

Une expression littérale est une expression mathématique comportant une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

L’aire $A$ d’un carré de côté $c$ est donnée par $A = c \times c$ . Il s’agit-là d’une expression littérale.

Réduction

Définition

Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous une forme plus simple en regroupant les termes et les facteurs qui la composent.

$5 x + 1 + x + 3 = 5 x + x + 1 + 3 = (5 + 1) x + (1 + 3) = 6 x + 4$

$2 y \times 5 y \times 7 y = 2 \times 5 \times 7 \times y \times y \times y = 70 \times y^{3} = 70 y^{3}$

Compléter en réduisant les expressions suivantes.

$- 2 x + 5 - 4 x + 3 =$ .
$- 5 x + 4 x + 3 =$ .
$x^{2} + x + 3 x + 5 x^{2} + 1 =$ .
$6 x^{2} - 3 + 5 x - 7 x^{2} + 4 - 2 x =$ .
$- 3 x \times 3 x + 2 x + 3 x^{2} - 4 x =$ .
$2 \times (3 x^{2}) - (4 x) \times x + x^{2} =$ .

$- 2 x + 5 - 4 x + 3 = - 6 x + 8$ .
$- 5 x + 4 x + 3 = - x + 3$ .
$x^{2} + x + 3 x + 5 x^{2} + 1 = 6 x^{2} + 4 x + 1$ .
$6 x^{2} - 3 + 5 x - 7 x^{2} + 4 - 2 x = - x^{2} + 3 x + 1$ .
$- 3 x \times 3 x + 2 x + 3 x^{2} - 4 x = - 6 x^{2} - 2 x$ .
$2 \times 3 x^{2} - 4 x \times x + x^{2} = 3 x^{2}$ .

Développement

Définition

Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en somme (ou en différence).

$5 (3 a - 1) = 5 \times 3 a + 5 \times (- 1) = 5 \times 3 a - 5 = 15 a - 5$

$(2 x + 3) (5 x + 7) = 2 x \times 5 x + 2 x \times 7 + 3 \times 5 x + 3 \times 7 = 10 x^{2} + 14 x + 15 x + 21 = 10 x^{2} + 29 x + 21$

Compléter en développant et en réduisant les expressions suivantes.

$3 \times (2 x + 4) =$ .
$(2 x - 1) x =$ .
$(x + 3) (x + 2) =$ .
$(1 + x) (x - 9) =$ .
$(- 2 x + 8) (4 - x) =$ .

$3 \times (2 x + 4) = 3 \times 2 x + 3 \times 4 = 6 x + 12$ .
$(2 x - 1) x = 2 x \times x - 1 \times x = 2 x^{2} - x$ .
$(x + 3) (x + 2) = x \times x + x \times 2 + 3 \times x + 3 \times 2 = x^{2} + 5 x + 6$ .
$(1 + x) (x - 9) = 1 \times x - 1 \times 9 + x \times x - x \times 9 = x^{2} - 8 x - 9$ .
$(- 2 x + 8) (4 - x) = - 2 x \times 4 - 2 x \times (- x) + 8 \times 4 - 8 \times x = 2 x^{2} - 16 x + 32$ .

Soit $x$ , un nombre positif. On considère le triangle $A BC$ ci-contre.

Le triangle $A BC$ est-il rectangle pour $x = 0$ ? Justifier.
Démontrer que $A BC$ est un triangle rectangle quelle que soit la valeur de $x \geq 0$ .

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Pour $x = 0$ , on a $B A^{2} + A C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ et $B C^{2} = 5^{2} = 25$ . Ces valeurs sont égales, donc ce triangle est rectangle d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
On a $B A^{2} + A C^{2} = (1, 5 x + 3)^{2} + (2 x + 4)^{2} = 2, 25 x^{2} + 9 x + 9 + 4 x^{2} + 16 x + 16 = 6, 25 x^{2} + 25 x + 25$ et $B C^{2} = (2, 5 x + 5)^{2} = 6, 25 x^{2} + 25 x + 25$ . Ces expressions sont égales, donc ce triangle est rectangle quelque soit la valeur de $x$ d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Factorisation

Définition

Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme (ou une différence) en produit.

$85 r + 15 r = (85 + 15) r = 100 r$

$57 (b + 1) - 4 (b + 1) = (57 - 4) (b + 1) = 53 (b + 1)$

Compléter en factorisant les expressions suivantes.

$7 z + 9 z =$ .
$10 x - 10 y =$ .
$11 a + 11 b - 11 c =$ .
$4 x (y - 6) + 5 (y - 6) =$ .
$(x - 1) 5 x + 3 (x - 1) =$ .

$7 z + 9 z = z (7 + 9) = 16 z$ .
$10 x - 10 y = 10 (x - y)$ .
$11 a + 11 b - 11 c = 11 (a + b) - 11 c = 11 (a + b - c)$ .
$4 x (y - 6) + 5 (y - 6) = (4 x + 5) (y - 6)$ .
$(x - 1) 5 x + 3 (x - 1) = 5 x (x - 1) + 3 (x - 1) = (5 x + 3) (x - 1)$ .

Propriété

Pour factoriser une expression littérale, on peut utiliser l’identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2} = (x - 2) (x + 2)$

Factoriser l’expression $x^{4} - 9$ .

$x^{4} - 9 = (x^{2})^{2} - 3^{2} = (x^{2} - 3) (x^{2} + 3)$

Équations

Rappels

Propriété

Une égalité reste vraie lorsqu’on ajoute (ou soustrait) un même nombre à chacun de ses membres. Une égalité reste aussi vraie lorsqu’on multiplie (ou divise) ses membres par un même nombre non nul.

On veut résoudre l’équation $x - 7 = 2$ . On ajoute $7$ à chacun des deux membres.

$x - 7 + 7 x = 2 + 7 = 9$

Donc $9$ est la solution de cette équation.

On veut résoudre l’équation $3 x = - 1$ . On divise par $3$ chacun des deux membres. $\frac{3 x}{3} x = \frac{- 1}{3} = - \frac{1}{3}$ Donc $- \frac{1}{3}$ est la solution de cette équation.

Équations produit nul

Propriété

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

On veut résoudre l’équation $(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$ . C’est une équation de type produit nul, qui peut se traduire par : $3 x + 4 3 x x = 0 = - 4 = - \frac{4}{3} ou 2 x - 3 2 x x = 0 = 3 = \frac{3}{2}$ Donc $- \frac{4}{3}$ et $\frac{3}{2}$ sont les solutions de cette équation.

Résoudre les équations suivantes.

$x (7 x + 2) = 0$ .
$(x + 3)^{2} = 0$ .
$x^{2} = 2 x$ .

$x (7 x + 2) = 0$ est une équation produit nul, que nous pouvons résoudre comme suit : $⟺ x = 0 ou ⟺ 7 x + 2 = 0 x = - \frac{7}{2}$ Il y a deux solutions : $- \frac{7}{2}$ et $0$ .
$(x + 3)^{2} = 0$ est une équation produit nul, mais plus simple ! $x + 3 = 0 ou x + 3 = 0$ Cela revient à résoudre simplement : $x + 3 = 0$ La seule solution est $x = 3$ .
Il faut transformer un peu l’expression : $x^{2} = 2 x ⟺ x^{2} - 2 x = 0 ⟺ (x - 2) x = 0$ $(x - 2) x = 0$ est une équation produit nul, que nous pouvons résoudre comme suit : $⟺ x - 2 = 0 x = 2 ou x = 0$ Il y a deux solutions : $0$ et $2$ .