Fonctions

Connaître le vocabulaire et les notations associés aux fonctions : variable, fonction, antécédent, image.
Connaître les différents modes de représentation d’une fonction (expression symbolique, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calcul).
Savoir déterminer, à partir d’un mode de représentation, l’image ou un antécédent d’un nombre par une fonction.
Savoir représenter graphiquement une fonction.
Savoir résoudre des problèmes modélisés par des fonctions.

Vocabulaire

Fonction

Définition

Une fonction est un procédé qui, à un nombre, fait correspondre un nombre unique.

Le procédé qui, à tout nombre, fait correspondre son carré est une fonction.

$3 \mapsto 9$
$5 \mapsto 25$
$10 \mapsto 100$

Notation

Pour une fonction $f$ , à un nombre $x$ , on fait correspondre le nombre $f (x)$ (lire $f$ de $x$ ). On note $f : x \mapsto f (x)$ .

La fonction de l’exemple précédente peut se noter $f : x \mapsto x^{2}$ .

On considère la fonction $g : x \mapsto 3 x - 1$ . Calculer.

$g (- 2) =$
$g (0) =$
$g (\frac{1}{3}) =$

$g (- 2) = 3 \times (- 2) - 1 = - 7$
$g (0) = 3 \times 0 - 1 = - 1$
$g (\frac{1}{3}) = 3 \times (\frac{1}{3}) - 1 = 0$

Remarque

Attention à ne pas confondre $f$ et $f (x)$ .

$f$ est une fonction.
$f (x)$ est un nombre.

Image et antécédent

Définition

Soit $f$ une fonction qui, à un nombre $a$ , fait correspondre un nombre $b$ (ie. $f (a) = b$ ). On dit que :

$b$ est l’image de $a$ par la fonction $f$ .
$a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$ .

tikzpicture-1

On considère la fonction $f : x \mapsto - 5 x + 7$ .

Compléter le tableau de valeurs suivant.

Nombre $x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

Image $f (x)$
En utilisant le tableau, répondre aux questions suivantes.
1. Que vaut $f (- 2)$ ?
2. Donner un antécédent de $7$ par la fonction $f$ .
3. Quelle est l’image de $1$ par la fonction $f$ ?

Complétons le tableau en calculant.

Nombre $x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

Image $f (x)$ $17$ $12$ $7$ $2$ $- 3$
D’après le tableau ci-dessus :
1. $f (- 2) = 17$
2. Un antécédent de $7$ par la fonction $f$ est $0$ .
3. L’image de $1$ par la fonction $f$ est $2$ .

Nombre $x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
Image $f (x)$	$17$	$12$	$7$	$2$	$- 3$

Remarques

Un nombre $x$ ne peut avoir qu’une seule image par une fonction $f$ , mais un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents.
Il est aussi possible qu’un nombre n’admette aucun antécédent.

On considère la fonction $f : x \mapsto x^{2}$ .

Donner tous les antécédents de $4$ par la fonction $f$ .
Est-ce que $- 9$ peut avoir un antécédent par la fonction $f$ ? Justifier.

Les antécédents de $4$ par la fonction $f$ sont $- 2$ et $2$ .
$- 9$ ne peut pas avoir d’antécédent par la fonction $f$ car celle-ci ne prend que des valeurs positive (en effet, le carré d’un nombre est positif).

Représentation graphique

Rappels sur le repérage dans un plan

Définitions

Un repère orthogonal est constitué de deux axes gradués perpendiculaires et sécants en un point $O$ .

$O$ est l’origine du repère.
La droite horizontale est l’axe des abscisses.
La droite verticale est l’axe des ordonnées.

Dans un repère, un point $M$ est repéré par un couple $(x; y)$ appelé coordonnées du point $M$ . $x$ est l’abscisse du point et $y$ est l’ordonnée.

tikzpicture-2

On considère le repère ci-contre.

Lire les coordonnées des points suivants.
- $A :$ .
- $B :$ .
- $C :$ .
- $D :$ .
Placer les points $E (2; - 2)$ et $F (- 1; 0)$ .

tikzpicture-3

Lire les coordonnées des points suivants.
- $A : (1; 1)$ .
- $B : (1; - 2)$ .
- $C : (- 1, 5; 1)$ .
- $D : (- 1; - 2)$ .

Tracer la représentation graphique d’une fonction

Définition

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x; f (x))$ . Cette représentation graphique est également appelée courbe représentative de la fonction $f$ .

Le but de cet exercice est de tracer la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto 0, 5 x^{2}$ .

Commençons par calculer les valeurs prises par $f (x)$ pour quelques valeurs de $x$ . Compléter le tableau suivant.

Nombre $x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$

Image $f (x)$
Dans le repère ci-dessous, placer les points de coordonnées $(x; f (x))$ donnés par le tableau.
Relier les coordonnées précédemment placées.

Complétons le tableau en calculant.

Nombre $x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$

Image $f (x)$ $4, 5$ $2$ $0, 5$ $0$ $0, 5$ $2$ $4, 5$
Plaçons les points de coordonnées $(x; f (x))$ donnés par le tableau.
Relions ces points.

Nombre $x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
Image $f (x)$	$4, 5$	$2$	$0, 5$	$0$	$0, 5$	$2$	$4, 5$

Exploiter la représentation graphique d’une fonction

Méthode

Pour déterminer graphiquement l’image d’un nombre $x$ , on place $x$ sur l’axe des abscisses et on lit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.
Pour déterminer graphiquement les antécédents d’un nombre $y$ , on place $y$ sur l’axe des ordonnées et on lit les abscisses des points de la courbe correspondants.

On a tracé ci-contre la courbe représentative $C_{f}$ d’une fonction $f$ .

Déterminer graphiquement l’image des nombres suivants par la fonction $f$ .
- $2$ :
- $0$ :
Déterminer graphiquement un antécédent de $1$ par la fonction $f$ .

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Par lecture graphique :
- L’image de $2$ par $f$ est $1, 41$ environ.
- L’image de $0$ par $f$ est $0$ .
Par lecture graphique, un antécédent de $1$ par $f$ est $1$ .