Fonctions affines et linéaires

Savoir ce qu’est une fonction linéaire, une fonction affine.
Représenter graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine.
Modéliser une situation de proportionnalité à l’aide d’une fonction linéaire.
Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions.
Distinguer l’allure de la représentation graphique d’une fonction affine ou linéaire.

Fonctions affines

Définition

Une fonction affine est une fonction $f$ de la forme $f : x \mapsto a x + b$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres.

Montrer que les fonctions ci-dessous sont des fonctions affines.

$f : x \mapsto - 3 x + 6$ :
$g : x \mapsto \frac{2 x + 5}{3}$ :
$h : x \mapsto 4 x$ :

$f$ est de la forme $f : x \mapsto a x + b$ avec $a = - 3$ et $b = 6$ .
$g$ est de la forme $g : x \mapsto a x + b$ avec $a = \frac{2}{3}$ et $b = \frac{5}{3}$ .
$h$ est de la forme $h : x \mapsto a x + b$ avec $a = 4$ et $b = 0$ . $h$ est même une fonction linéaire.

Représentation graphique

Proposition

Soit $f$ une fonction. Alors $f$ est affine si et seulement si sa courbe représentative est une droite.

Méthode

Pour représenter graphiquement une fonction affine, il suffit de connaître deux points par lesquels passe la courbe représentative de cette fonction. Ensuite, on trace la droite passant par ces points.

On considère la fonction $f : x \mapsto 1 - x$ .

$f$ est-elle une fonction affine ?
Compléter le tableau de valeurs suivant.

Nombre $x$ $0$ $1$

Image $f (x)$
Tracer $C_{f}$ , la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère ci-contre.

Nombre $x$	$0$	$1$
Image $f (x)$

tikzpicture-1

C’est une fonction affine car elle est de la forme $f : x \mapsto a x + b$ avec $a = - 1$ et $b = 1$ .
Nombre $x$ $0$ $1$

Image $f (x)$ $1$ $0$
Nous allons nous servir du tableau précédent pour tracer la courbe représentative de la fonction. Il suffit pour cela de placer les deux points $(0; f (0))$ et $(1; f (1))$ puis de les relier.

Nombre $x$	$0$	$1$
Image $f (x)$	$1$	$0$

Paramètres

Définition

Soit $f : x \mapsto a x + b$ une fonction affine dont on note $(d)$ la courbe représentative.

$a$ est le coefficient directeur de $f$ ; aussi appelé pente de $(d)$ . En restant sur la droite $(d)$ , en augmentant l’abscisse de $1$ , l’ordonnée augmente de $a$ .
$b$ est l’ordonnée à l’origine de $(d)$ (ou de $f$ ). Il s’agit de l’ordonnée du point d’intersection de $(d)$ avec l’axe des ordonnées.

On considère $f$ une fonction affine dont la courbe a été représentée dans le repère ci-contre. Par lecture graphique, on déduit que :

Le coefficient directeur de $f$ est $0, 5$ .
L’ordonnée à l’origine de $f$ est $2$ .

Donc l’expression de $f$ en fonction de $x$ est $f : x \mapsto 0, 5 x + 2$ .

tikzpicture-3

On a représenté une fonction $g$ ci-contre.

Expliquer pourquoi $g$ est affine.
Quel est son coefficient directeur ?
Quelle est son ordonnée à l’origine ?
En déduire l’expression de $g (x)$ où $x$ est un nombre.

$g (x) =$

tikzpicture-4

La courbe représentative de $g$ est une droite, donc $g$ est une fonction affine.
En avançant de $1$ , on descend de $1$ . Donc le coefficient directeur de $g$ est $- 1$ .
Les coordonnées du point d’intersection de $C_{g}$ avec l’axe des ordonnées sont $(0; - 2)$ . Donc l’ordonnée à l’origine de $g$ est $- 2$ .
Ainsi, $g (x) = (- 1) \times x + (- 2) = - x - 2$ .

Fonctions linéaires

Définition

Une fonction linéaire est une fonction $f$ de la forme $f : x \mapsto a x$ où $a$ désigne un nombre.

Ainsi, une fonction linéaire est une fonction affine dont l’ordonnée à l’origine vaut $0$ : sa courbe représentative passe par le point $(0; 0)$ .

On considère la fonction $f : x \mapsto 2 (x + 1) - 2$ .

Expliquer pourquoi $f$ est une fonction linéaire.
Quel est son coefficient directeur ?
En déduire $f (1)$ .

$f (1) =$
En utilisant la question précédente, tracer la courbe représentative de $f$ dans le repère ci-contre.

tikzpicture-5

Soit $x$ un nombre. On a $f (x) = 2 (x + 1) - 2 = 2 x + 2 - 2 = 2 x$ . Donc $f$ est bien de la forme $f : x \mapsto a x$ avec $a = 2$ .
D’après la question précédente, le coefficient directeur de $f$ est $2$ .
$f (1)$ est égal au coefficient directeur de $f$ , c’est-à-dire $2$ .
$f$ est linéaire, donc passe par le point $(0; 0)$ . Par la question précédente, $f$ passe aussi par le point $(1; 2)$ . Il suffit donc de tracer la droite qui passe par ces deux points.

tikzpicture-6

Lien avec la proportionnalité

Propriété

Une situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité $a$ peut être modélisée par une fonction linéaire de coefficient directeur $a$ .

Un tableau de valeurs d’une fonction linéaire est donc un tableau de proportionnalité.

On considère un cercle de rayon $r$ et on note $P$ la fonction qui à $r$ associe le périmètre du cercle.

Que vaut $P (r)$ ?

$P (r) =$
Est-ce une fonction linéaire ? Si oui, préciser son coefficient directeur.
Le périmètre d’un cercle est-il proportionnel à son rayon ?

$P (r) = 2 π r$ .
Il s’agit d’une fonction linéaire de coefficient directeur $2 π$ .
Oui d’après la question précédente.

Propriété

La fonction qui modélise une augmentation de $p$ % est la fonction linéaire $x \mapsto (1 + \frac{p}{100}) x$ .
La fonction qui modélise une diminution de $p$ % est la fonction linéaire $x \mapsto (1 - \frac{p}{100}) x$ .

Donner une expression de la fonction $f$ qui modélise une augmentation de $5$ %.
Calculer $f (1300)$ .

$f (1300) =$
Sofiane touche un salaire mensuel de $1300$ €. Il est augmenté le mois suivant de $5$ %. Combien touchera-t-il ?

Soit $x$ un nombre. On a $f (x) = (1 + \frac{5}{100}) x = 1, 05 x$ .
$f (1300) = 1365$ .
D’après la question précédente, il touchera $1365$ €.