Probabilités

Connaître le vocabulaire des probabilités, la notion de probabilité d’un événement.
Connaître la probabilité d’événements certains, impossibles, contraires.
Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples.
Calculer des probabilités dans des cas simples.
Exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).
Faire le lien entre fréquence et probabilité.

Vocabulaire

Expériences aléatoires

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont les différents résultats possibles appelés issues sont connus mais dont on ne sait pas, a priori, lequel va se produire.

On lance un dé à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ : il s’agit d’une expérience aléatoire dont les issues sont :

obtenir $1$ ;
obtenir $2$ ;
obtenir $3$ ;
obtenir $4$ ;
obtenir $5$ ;
obtenir $6$ .

Événements

Définition

Un événement désigne un ensemble d’issues. Si le résultat de l’expérience aléatoire est une des issues de l’événement, on dit que l’événement est réalisé.
L’événement contraire d’un événement $A$ est celui qui se réalise lorsque $A$ n’est pas réalisé. On le note généralement $\overline{A}$ .

On considère l’expérience aléatoire précédente. Obtenir un nombre pair est un événement ; c’est l’ensemble des issues suivantes :

obtenir $2$ ;
obtenir $4$ ;
obtenir $6$ .

L’événement contraire de celui-ci est Obtenir un nombre impair.

Probabilité d’un événement

Définition

La probabilité d’une issue est un nombre compris entre $0$ et $1$ , qui peut s’interpréter comme la proportion de chances d’obtenir cette issue.

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On dit que les issues d’une expérience sont équiprobables si elles ont la même probabilité.

Propriété

La somme des probabilités de toutes les issues est égale à $1$ .
Si une expérience aléatoire comporte $n$ issues équiprobables, la probabilité de chacune d’elles vaut $\frac{1}{n}$ .

Dans un sac se trouvent trois boules : une blanche, une bleue et une rouge. On en tire une au hasard.

Compléter le tableau ci-dessous en écrivant les issues possibles dans la première colonne et la probabilité correspondante dans la deuxième.

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche $\frac{1}{3}$

Tirer la boule bleue $\frac{1}{3}$

Tirer la boule rouge $\frac{1}{3}$
A-t-on une situation d’équiprobabilité ?
Que vaut la somme des probabilités de la deuxième colonne ?

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule bleue	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule rouge	$\frac{1}{3}$

Issue Probabilité

Tirer la boule blanche $\frac{1}{3}$

Tirer la boule bleue $\frac{1}{3}$

Tirer la boule rouge $\frac{1}{3}$
Oui : chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
Elle vaut $1$ d’après la propriété précédente. Cela peut se vérifier facilement : $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ .

Issue	Probabilité
Tirer la boule blanche	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule bleue	$\frac{1}{3}$
Tirer la boule rouge	$\frac{1}{3}$

Définition

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

Dans l’exercice précédent, quelle est la probabilité de l’événement Tirer une boule colorée ?

On note $A$ l’événement Tirer une boule colorée. Alors : $P (A) = probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule bleue” \frac{1}{3} + probabilit \overset{e}{ˊ} de l’issue “Tirer la boule rouge” \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Calcul

Propriété

Soit $A$ un événement. On note $P (A)$ la probabilité de $A$ .

Dans une expérience aléatoire où toutes les issues sont équiprobables, on a : $P (A) = \frac{nombre d’issues qui r e ˊ alisent l’ e ˊ v e ˊ nement A}{nombre total d’issues}$
Il existe un lien entre la probabilité de $A$ et celle de son contraire : $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

Le jeu de cartes français est un jeu de $54$ cartes organisées en quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Il comporte $52$ cartes à jouer réparties en quatre familles de treize, plus deux jokers.

On dispose d’un tel jeu, et on tire au hasard une carte.

Quelle est la probabilité que cette carte soit un Roi ?
Quelle est la probabilité que cette carte ne soit pas un cœur ?

Dans un tel jeu de cartes, il y a quatre Rois. Donc, la probabilité de tirer un roi est de $\frac{4}{54}$ .
Les différentes couleurs trèfle, carreau, cœur et pique sont équitablement réparties à travers $52$ cartes du jeu (les $54$ moins les deux jokers). Donc, il y a $\frac{52}{4} = 13$ cœurs.

Notons $C$ l’événement Tirer un cœur. Alors : $P (C) = \frac{13}{54}$ D’où : $P (\overline{C}) = 1 - \frac{13}{54} = \frac{41}{54}$

Lien avec les statistiques

Théorème

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est la probabilité de cet événement.

Avec Scratch, on a simulé un grand nombre de lancers d’une pièce de monnaie équilibrée, et on a obtenu les résultats suivants.

Nombre de lancers	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
Nombre de Pile	$51$	$477$	$5074$	$50026$
Nombre de Face	$49$	$523$	$4926$	$49974$

Calculer les fréquences de Pile et de Face pour $100000$ lancers :
Dans un lancer de pièce équilibrée, quelle est la probabilité d’obtenir Pile ? Et d’obtenir Face ?
Qu’observe-t-on ?

Notons $f_{P}$ la fréquence de Pile et $f_{F}$ la fréquence de Face. On a : $f_{P} = \frac{50026}{100000} = 0, 50026 et f_{F} = \frac{49974}{100000} = 0, 49974$
Notons $p_{P}$ la probabilité d’obtenir Pile et $p_{F}$ la probabilité d’obtenir Face. On a : $p_{P} = 0, 5 et p_{F} = 0, 5$
Pour $100000$ lancers, $f_{P}$ est très proche de $p_{P}$ et de même, $f_{F}$ est très proche de $p_{F}$ .

C’est la loi des grands nombres : c’est sur cette loi que reposent la plupart des sondages. Ils interrogent un nombre suffisamment important de personnes pour connaître l’opinion (probable) de la population entière.

C’est aussi sur cette loi que se basent les modèles d’expected goals au football.

Expériences aléatoires à plusieurs épreuves

Définition

La succession de deux épreuves aléatoires constitue une expérience aléatoire à deux épreuves. Pour étudier une telle expérience aléatoire, on peut utiliser un arbre de probabilités.

Une urne contient deux boules blanches et trois boules rouges. On tire une première boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne. On en fait de même avec une deuxième boule.

On note :

$B$ l’événement tirer une boule blanche. On a donc $P (B) = \frac{2}{5}$ .
$R$ l’événement tirer une boule rouge. On a donc $P (R) = \frac{3}{5}$ .

C’est une expérience aléatoire à deux épreuves que l’on peut représenter par l’arbre ci-contre.

La probabilité d’avoir deux boules blanches est donnée en suivant les branches de l’arbre, et en multipliant les probabilités rencontrées : $P (B et B) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$ .

tikzpicture-2

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. On note $P$ l’événement obtenir Pile et $F$ l’événement obtenir Face.

Représenter cette expérience aléatoire dans un arbre de probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir une fois Face et une fois Pile ?

Notons $A$ l’événement obtenir une fois Face et une fois Pile. Alors : $P (A) = P (P et F) + P (F et P) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$