Statistiques

Recueillir des données, les organiser.
Lire et interpréter des données sous forme de données brutes, de tableau, de diagramme (diagramme en bâtons, diagramme circulaire, histogramme).
Calculer des effectifs, des fréquences.
Calculer et interpréter des indicateurs de position ou de dispersion d’une série statistique.

Vocabulaire

Définitions

Une série de données désigne un ensemble de données, ordonnées ou non, numériques ou non.
L’effectif d’une donnée est le nombre de fois où elle apparaît dans cette série.
L’effectif total est la somme de tous les effectifs.
La fréquence d’une donnée est le quotient de son effectif par l’effectif total. $fr \overset{e}{ˊ} quence = \frac{effectif}{effectif total}$

Julie a regroupé ses dernières notes obtenues en mathématiques : $11$ ; $15$ ; $12$ ; $16$ ; $15$ .

La série de nombres ci-dessus est une série de donnée dont l’effectif total est $5$ . L’effectif de la note $15$ est $2$ , et sa fréquence est $\frac{2}{5}$ .

Calcul avec des données

Moyenne

Définition

La moyenne pondérée d’une série de données numérique est égale à la somme des produits de chaque donnée par son effectif divisée par l’effectif total. $moyenne pond \overset{e}{ˊ} r \overset{e}{ˊ} e = \frac{somme des produits des donn e ˊ es par leurs effectifs}{effectif total}$

Voici les ventes réalisées un samedi par la pizzeria Del Piero.

Prix (en €)	$8$	$9$	$9, 5$	$11$	$12$
Nombre de pizzas vendues	$16$	$24$	$8$	$12$	$20$

Calculer le prix moyen des pizzas vendues.

$\frac{8 \times 16 + 9 \times 24 + 9 , 5 \times 8 + 11 \times 12 + 12 \times 20}{16 + 24 + 8 + 12 + 20} = \frac{792}{80} = 9, 9$ Le prix moyen des pizzas vendues est donc $9, 90$ €.

Méthode

Pour calculer la moyenne d’une série de données numériques dont les données sont regroupées en classes : on calcule la moyenne des valeurs extrêmes de chaque classe, puis on utilise ces moyennes à la place des valeurs des données.

Rachid a classé les $240$ œufs pondus par ses poules selon leur calibre.

Calibre	Petit	Moyen	Gros	Très gros
Masse $m$ (en grammes)	$42 \leq m < 49$	$49 \leq m < 56$	$56 \leq m < 63$	$63 \leq m < 70$
Masse moyenne (en grammes)
Effectif	$22$	$113$	$75$	$30$

Remplir la troisième ligne du tableau avec la masse moyenne de chaque calibre.
Quelle est la masse moyenne des œufs pondus par les poules de Rachid ?

Calibre Petit Moyen Gros Très gros

Masse $m$ (en grammes) $42 \leq m < 49$ $49 \leq m < 56$ $56 \leq m < 63$ $63 \leq m < 70$

Masse moyenne (en grammes) $45, 5$ $52, 5$ $59, 5$ $66, 5$

Effectif $22$ $113$ $75$ $30$
$\frac{45 , 5 \times 22 + 52 , 5 \times 113 + 59 , 5 \times 75 + 66 , 5 \times 30}{22 + 113 + 75 + 30} = \frac{13391}{240} \approx 55, 8$ La masse moyenne des œufs pondus par les poules de Rachid est donc d’environ $55, 8$ g.

Médiane

Définition

Dans une série de données numériques ordonnées, la médiane désigne le milieu :

La moitié des données sont inférieures ou égales à la médiane.
L’autre moitié des données sont supérieures ou égales à la médiane.

Ci-contre se trouve les tailles des $11$ joueurs titulaire de l’Équipe de France pour le match contre l’Autriche qui a eu lieu le 22 septembre 2022.

Quelle est la taille moyenne de ce $11$ titulaire ?
1. Lister ces tailles par ordre croissant.
2. Quelle est la médiane de cette série de tailles ?

Joueur	Taille (en mètres)
M. Maignan	$1, 91$
J. Koundé	$1, 78$
R. Varane	$1, 91$
B. Badiashile	$1, 94$
J. Clauss	$1, 78$
A. Tchouaméni	$1, 87$
Y. Fofana	$1, 76$
F. Mendy	$1, 80$
A. Griezmann	$1, 76$
O. Giroud	$1, 93$
K. Mbappé	$1, 78$

$\frac{1 , 91 + 1 , 78 + 1 , 91 + 1 , 94 + 1 , 78 + 1 , 87 + 1 , 76 + 1 , 80 + 1 , 76 + 1 , 93 + 1 , 78}{11} = \frac{20 , 22}{11} \approx 1, 84$ La taille moyenne de ce $11$ titulaire est d’environ $1, 84$ m.
1. $1, 76$ ; $1, 76$ ; $1, 78$ ; $1, 78$ ; $1, 78$ ; $1, 80$ ; $1, 87$ ; $1, 91$ ; $1, 91$ ; $1, 93$ ; $1, 94$ .
2. La médiane de cette série de valeurs est la 6e valeur, soit $1, 80$ m.

Étendue

Définition

L’étendue d’une série de données numériques est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

Voici les températures moyennes historiquement mesurées à Boissy-Saint-Léger en fonction du mois de l’année.

Mois	janv.	févr.	mars	avr.	mai	juin	juil.	août	sept.	oct.	nov.	déc.
Température (en °C)	$4$	$4$	$8$	$10$	$14$	$17$	$20$	$19$	$16$	$12$	$7$	$5$

Quelle est l’étendue de cette série de données ?

La plus grande valeur est $20$ ° et la plus petite est $4$ °. Donc l’étendue de cette série de données est $20 - 4$ °, c’est-à-dire $16$ °.

Représentation de données

Diagrammes en bâtons

Définition

Un diagramme en bâtons permet de comparer visuellement des données. Dans un tel diagramme, les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux valeurs qu’elles représentent.

Léa a $6$ cousins et cousines :

$3$ ont deux ans ;
$1$ a six ans ;
$2$ ont dix ans.

Représenter dans un diagramme en bâtons le nombre de ses cousins et cousines en fonction de leur âge.

tikzpicture-1

Histogrammes

Définition

Lorsque les données d’une série statistique prennent de nombreuses valeurs différentes, on peut les représenter par un histogramme. Dans un tel diagramme, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux valeurs qu’elles représentent.

Benjamin a relevé les notes des $25$ élèves d’une classe de troisième : $14$ ; $10$ ; $8$ ; $5$ ; $16$ ; $15$ ; $18$ ; $7$ ; $19$ ; $13$ ; $12$ ; $7$ ; $4$ ; $10$ ; $11$ ; $16$ ; $13$ ; $17$ ; $9$ ; $15$ ; $12$ ; $17$ ; $6$ ; $9$ ; $14$ .

Regrouper ces données dans un tableau avec des classes d’amplitude de $5$ points.
Construire un histogramme représentant la répartition des notes de la classe.

Note $n$ $0 \leq n < 5$ $5 \leq n < 10$ $10 \leq n < 15$ $15 \leq n < 20$

Effectif $1$ $7$ $9$ $8$

Note $n$	$0 \leq n < 5$	$5 \leq n < 10$	$10 \leq n < 15$	$15 \leq n < 20$
Effectif	$1$	$7$	$9$	$8$

Diagrammes circulaires

Définition

Un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) permet de mettre en évidence la répartition de données suivant plusieurs catégories. Dans un tel diagramme, les mesures des angles sont proportionnelles aux valeurs qu’elles représentent.

Les ingrédients pour fabriquer des petits biscuits alsaciens de Noël sont les suivants :

$250$ g de farine
$100$ g d’amandes en poudre
$70$ g de sucre en poudre
$220$ g de beurre

Compléter le tableau de proportionnalité suivant.

Ingrédient Farine Amandes Sucre Beurre Total

Quantité (en grammes) $250$ $100$ $70$ $220$ $640$

Angle (en degrés) $360$
Représenter la répartition des ingrédients dans un diagramme circulaire.

Ingrédient	Farine	Amandes	Sucre	Beurre	Total
Quantité (en grammes)	$250$	$100$	$70$	$220$	$640$
Angle (en degrés)					$360$

Ingrédient Farine Amandes Sucre Beurre Total

Quantité (en grammes) $250$ $100$ $70$ $220$ $640$

Angle (en degrés) $140, 625$ $56, 25$ $39, 375$ $123, 75$ $360$