Triangles

Reconnaître, nommer, décrire des triangles, dont les triangles particuliers (triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral).
Connaître le vocabulaire associé à ces objets et à leurs propriétés : côté, sommet, angle, hauteur.
Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée.

Rappels

Définitions

Définition

Un triangle est un polygone à trois côtés.
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur.
Un triangle quelconque est un triangle qui n’est ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral.

Parmi les triangles ci-dessous, entourer en rouge le triangle rectangle, en bleu le triangle isocèle, en vert le triangle équilatéral et en noir le triangle quelconque.

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Construction

Propriété

On peut construire un triangle si et seulement si :

on connaît les longueurs des trois côtés du triangle (construction à la règle et au compas) ;
on connait la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle formé par ces deux côtés (construction à la règle et au rapporteur) ;
on connait la mesure de deux angles et la longueur du côté commun à ces deux angles (construction à la règle et au rapporteur).

Construire le triangle $XM L$ tel que $XM = 4$ cm, $M L = 3$ cm et $L X = 2$ cm.

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Construire le triangle $W EB$ tel que $W E = 4$ cm, $W B = 3, 5$ cm et $E W B = 40$ °.

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Construire le triangle $U R L$ tel que $U R = 5$ cm, $R UL = 25$ ° et $L R U = 34$ °.

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Hauteur issue d’un sommet

Définition

Soit $A BC$ un triangle. La hauteur du triangle $A BC$ issue de $A$ est la droite passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $(BC)$ .

Dans les deux triangles $A BC$ ci-dessous, avec l’équerre, tracer la hauteur du triangle $A BC$ issue de $A$ . Appeler $(h)$ cette hauteur et $I$ le point d’intersection entre $(h)$ et $(BC)$ .

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Propriétés

Somme des angles

Propriété

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est de $180$ °.

Corollaires

Les angles d’un triangle équilatéral mesurent $60$ °.
Les angles de la base d’un triangle isocèle ont la même mesure.
La somme des angles aigus d’un triangle rectangle vaut $90$ °.

Soit $A BC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $B A C = 40$ °. Montrer que $A CB = CB A = 70$ °.

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est de $180$ °. Donc : $A CB + CB A + B A C A CB + CB A = 180° = 180° - B A C = 180° - 40° = 140°$ Or, dans un triangle isocèle, les angles de la base d’un triangle isocèle ont la même mesure. Donc $A CB = CB A$ . En réinjectant cela dans l’équation du dessus : $2 A CB A CB = 140° = 70°$ On a bien $A CB = CB A = 70$ °.

Inégalité triangulaire

Propriété

Soit $A BC$ un triangle. Alors $A C \leq CB + B A$ . De plus, $A C = CB + B A$ si et seulement si $B \in [A C]$ .

Essayer de construire un triangle $A BC$ tel que $A C = 5$ cm, $A B = 2$ cm et $BC = 2, 5$ cm.
Que constate-t-on ? Pourquoi ?

Il est impossible de tracer ce triangle, tout simplement car l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée : $A C > CB + B A$ .

Triangles égaux et semblables

Triangles égaux

Définition

Deux triangles sont dits égaux s’ils sont superposables par glissement ou par retournement suivi d’un glissement.

Propriété

Soient $A BC$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ deux triangles. Si :

leurs côtés sont deux à deux de même longueur ;
ou ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur ;
ou ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure ;

alors ils sont égaux.

Triangles semblables

Définition

Deux triangles sont dits semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure.

Propriété

Deux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.

Remarque

C’est de cette propriété que découle le théorème de Thalès.

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Les triangles $A BC$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ ci-dessus sont semblables. Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous.

Longueurs de $A BC$	$A B = 1, 5$ cm
Longueurs de $A^{'} B^{'} C^{'}$	$A^{'} B^{'} = 1$ cm	$B^{'} C^{'} = 1, 24$ cm	$C^{'} A^{'} = 1, 39$ cm

Quel est le coefficient de proportionnalité ?

Longueurs de $A BC$	$A B = 1, 5$ cm	$BC = 1, 86$ cm	$C A = 2, 085$ cm
Longueurs de $A^{'} B^{'} C^{'}$	$A^{'} B^{'} = 1$ cm	$B^{'} C^{'} = 1, 24$ cm	$C^{'} A^{'} = 1, 39$ cm

Le coefficient de proportionnalité est $\frac{1}{1 , 5} = \frac{2}{3}$ .

On considère les triangles $L A C$ et $B U T$ ci-dessous.

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Montrer que $L A C$ et $B U T$ sont semblables.
Par quel nombre doit-on multiplier l’aire du triangle $L A C$ pour obtenir l’aire du triangle $B U T$ ?

Indication. L’aire $A$ d’un triangle de base $b$ et de hauteur $h$ est donnée par $A = \frac{b \times h}{2}$ .

Les côtés de $L A C$ sont deux à deux proportionnels aux côtés de $B U T$ . En effet :
- $B U = 3 \times L A$ ;
- $U T = 3 \times A C$ ;
- $TB = 3 \times L C$ .
Donc ces deux triangles sont semblables.
Notons $A_{L A C}$ l’aire de $L A C$ et $A_{B U T}$ l’aire de $B U T$ . Notons également $h_{A}$ la hauteur de $L A C$ issue de $A$ et $h_{U}$ la hauteur de $B U T$ issue de $U$ . Alors : $A_{B U T} = \frac{TB \times h _{U}}{2} = \frac{3 \times L C \times 3 \times h _{A}}{2} = 9 \times \frac{L C \times h _{A}}{2} = 9 \times A_{L A C}$ Il faut multiplier l’aire du triangle $L A C$ par $9$ pour obtenir l’aire du triangle $B U T$ .