Trigonométrie

Connaître les lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente.
Mener des raisonnements et s’initier à la démonstration en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations.

Les fonctions trigonométriques

Définitions

Définition

Soit $A BC$ un triangle rectangle en $A$ .

On appelle cosinus de l’angle $A BC$ le rapport : $cos (A BC) = \frac{longueur du c o ˆ t e ˊ adjacent a ˋ A BC}{longueur de l’hypot e ˊ nuse} = \frac{A B}{BC}$
On appelle sinus de l’angle $A BC$ le rapport : $sin (A BC) = \frac{longueur du c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ a ˋ A BC}{longueur de l’hypot e ˊ nuse} = \frac{C A}{BC}$
On appelle tangente de l’angle $A BC$ le rapport : $tan (A BC) = \frac{longueur du c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ a ˋ A BC}{longueur du c o ˆ t e ˊ adjacent a ˋ A BC} = \frac{C A}{A B}$

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Le cosinus, le sinus et la tangente sont des grandeurs sans unité.

On peut retenir ces définitions à l’aide du mnémotechnique CAH-SOH-TOA : $cos (angle) = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse} sin (angle) = \frac{oppos e ˊ}{hypoth e ˊ nuse} tan (angle) = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$

On considère le triangle $D EF$ ci-contre. Effectuer les calculs suivants.

$cos (EF D) =$
$sin (EF D) =$
$tan (EF D) =$

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Dans le triangle $E D F$ rectangle en $E$ , l’hypoténuse est $[D F]$ , le côté adjacent à $D FE$ est $[FE]$ et le côté opposé à $D FE$ est $[E D]$ . D’où :

$cos (EF D) = \frac{FE}{D F} = \frac{3}{5}$
$sin (EF D) = \frac{E D}{D F} = \frac{4}{5}$
$tan (EF D) = \frac{E D}{FE} = \frac{4}{3}$

Propriétés

Propriété

Soit $α$ la mesure d’un angle aigu.

$cos (α)$ et $sin (α)$ sont des nombres compris entre $0$ et $1$ .
$tan (α) > 0$ .
$cos (α)^{2} + sin (α)^{2} = 1$ .
$tan (α) = \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}$ .

L’objectif de cet exercice est de prouver la dernière propriété. Soit $A BC$ un triangle rectangle en $A$ .

Que vaut $sin (A BC)$ ?

$sin (A BC) =$
Que vaut $cos (A BC)$ ?

$cos (A BC) =$
Simplifier le quotient $\frac{s i n ( A BC )}{c o s ( A BC )}$ .

$\frac{s i n ( A BC )}{c o s ( A BC )} =$
Conclure.

$sin (A BC) = \frac{C A}{BC}$ .
$cos (A BC) = \frac{A B}{BC}$ .
$\frac{s i n ( A BC )}{c o s ( A BC )} = \frac{\frac{C A}{BC}}{\frac{A B}{BC}} = \frac{C A}{BC} \times \frac{1}{\frac{A B}{BC}} = \frac{C A}{BC} \times \frac{BC}{A B} = \frac{C A}{A B}$ .
Dans le triangle $A BC$ , $tan (A BC) = \frac{C A}{A B}$ . Or, $\frac{s i n ( A BC )}{c o s ( A BC )} = \frac{C A}{A B}$ d’après la question précédente. Donc, $tan (A BC) = \frac{s i n ( A BC )}{c o s ( A BC )}$ .

Utilisation dans un triangle rectangle

Calculer la longueur d’un côté

Méthode

Il est possible de calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle si on connaît la longueur d’un côté et la mesure d’un des angles aigus. On trouve la longueur inconnue en utilisant le rapport trigonométrique qui fait intervenir l’angle connu, la longueur connue et la longueur inconnue.

Le triangle $G H I$ ci-contre est rectangle en $H$ . Calculons $I G$ . $cos (I G H) cos (60°) I G = \frac{G H}{I G} = \frac{1 , 5}{I G} = \frac{1 , 5}{cos ( 60° )} = 3$

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On considère le triangle $J K L$ ci-contre. Calculer une valeur approchée de $K L$ .

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$J K L$ est rectangle en $K$ , donc : $tan (L J K) tan (25°) K L = \frac{K L}{J K} = \frac{K L}{3} = 3 \times tan (25°) \approx 1, 4$

Calculer la mesure d’un angle

Méthode

Il est possible de calculer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle si on connaît les longueurs de deux côtés. On trouve la mesure inconnue en utilisant le rapport trigonométrique qui fait intervenir l’angle inconnu et les deux longueurs connues.

Le triangle $MNO$ ci-contre est rectangle en $M$ . Calculons une valeur approchée de $MNO$ . $tan (MNO) tan (MNO) MNO = \frac{OM}{MN} = \frac{5}{12} = arctan (\frac{5}{12}) \approx 23°$

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Remarque

Les fonctions $arccos$ , $arcsin$ et $arctan$ permettent d’inverser respectivement $cos$ , $sin$ et $tan$ . Ainsi, si $α$ désigne la mesure d’un angle aigu : $arccos (cos (α)) = α arcsin (sin (α)) = α arctan (tan (α)) = α$

On considère le triangle $PQR$ ci-contre. Calculer une valeur approchée de $RPQ$ .

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Le triangle $PQR$ ci-contre est rectangle en $Q$ . Calculons une valeur approchée de $RPQ$ . $cos (RPQ) cos (RPQ) RPQ = \frac{QR}{RP} = \frac{3}{3 , 9} = arccos (\frac{3}{3 , 9}) \approx 40°$