Calcul littéral

Connaître les conventions d’écritures du calcul littéral et la formule de distributivité simple.
Savoir développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simples.
Utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale, pour démontrer un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture, pour modéliser une situation.

Généralités

Définition

Une expression littérale est une expression mathématique comportant une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

L’aire $A$ d’un carré de côté $c$ est donnée par $A = c \times c$ . Il s’agit-là d’une expression littérale.

Quelle expression littérale donne le périmètre $P$ d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $ℓ$ ?

Le périmètre $P$ d’un tel rectangle est donné par $P = 2 \times ℓ + 2 \times L$ .

Écriture

Méthode

Pour écrire une expression littérale, on part d’une lettre à laquelle on applique une suite d’opérations.

Ci-contre se trouve un programme de calcul. Si on choisit $x$ au départ du programme, quelle expression littérale donne le résultat final ?

tikzpicture-1

Utilisons un tableau pour répertorier les opérations faites sur $x$ .

Étape	Résultat
$1$	$x$
$2$	$x \times 2$
$3$	$x \times 2 + 10$

L’expression littérale qui donne le résultat de ce programme est $x \times 2 + 10$ .

Soit $y$ un nombre. Exprimer à l’aide d’une expression littérale…

Le double de $y$ :
Le tiers de $y$ :
La somme de $y$ et de $9$ :

Le double de $y$ : $2 \times y$ .
Le tiers de $y$ : $\frac{1}{3} \times y$ .
La somme de $y$ et de $9$ : $y + 9$ .

Utilisation

Méthode

Pour utiliser une expression littérale, il suffit de remplacer les lettres par des nombres dans cette expression.

Que vaut l’aire $A$ d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $ℓ$ ?

$A =$
Calculer l’aire de ce rectangle si $L = 3$ cm et $ℓ = 2$ cm.

$A =$

$A = L \times ℓ$ .
$A = 3 cm \times 2 cm = 6 cm²$ .

Pour réaliser des travaux de peinture, une entreprise facture $100$ € pour le matériel et les déplacements, puis $7$ € par m² peint.

On note $x$ le nombre de m² à peindre pour une maison donnée. Exprimer, en fonction de $x$ , le prix à payer pour réaliser des travaux de peinture.
Utiliser cette expression pour calculer le prix à payer pour peindre $40$ m².

On multiplie le nombre de m² par $7$ et on rajoute $100$ pour le déplacement et les matériels, ce qui donne : $x \times 7 + 100$
On remplace $x$ par $40$ dans la formule précédente : $40 \times 7 + 100 = 380$ Le prix à payer pour peindre $40$ m² est de $380$ €.

Tester une égalité

Définition

Une égalité est une expression mathématique constituée de deux membres séparés par un signe $=$ .
Une égalité est vraie lorsque le membre à gauche du signe $=$ a la même valeur que celui à la droite du signe $=$ .

Dire si les égalités suivantes sont vraies ou fausses.

$2 + 3 = 5$ :
$9 + 1 + 11 = 9 + 1$ :
$56 + 4 + 12 = 60 + 12$ :

$2 + 3 = 5$ : Vrai.
$9 + 1 + 11 = 9 + 1$ : Faux.
$56 + 4 + 12 = 60 + 12$ : Vrai.

Propriété

Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie ou fausse suivant la valeur que l’on donne aux lettres.

L’égalité $x + 1 = 10$ est vraie pour $x = 9$ mais est fausse pour $x = 5$ .

Méthode

Pour tester si une égalité est vraie pour des valeurs données :

On calcule le membre de gauche en remplaçant chaque lettre par la valeur qu’on lui attribue.
On calcule le membre de droite en remplaçant chaque lettre par la valeur qu’on lui attribue.
Si l’on obtient le même résultat, alors l’égalité est vraie pour les valeurs données. Sinon, elle est fausse pour ces valeurs.

On considère l’égalité $t + 3 = 2 \times t + 1$ .

Cette égalité est-elle vraie lorsque $t = 1$ ?
Et lorsque $t = 2$ ?

On remplace $t$ par $1$ dans les membres de gauche et de droite :
- $1 + 3 = 4$ .
- $2 \times 1 + 1 = 2 + 1 = 3$ .
Ces deux membres n’ont pas la même valeur, donc cette égalité est fausse pour $t = 1$ .
On remplace $t$ par $2$ dans les membres de gauche et de droite :
- $2 + 3 = 5$ .
- $2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5$ .
Ces deux membres ont la même valeur, donc cette égalité est vraie pour $t = 2$ .

Simplifier une expression littérale

Convention

Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe $\times$ s’il est placé devant / derrière une lettre ou une parenthèse.

Simplifier les expressions littérales suivantes.

$3 \times a =$ .
$a \times 3 =$ .
$b \times c =$ .
$11 \times (y + z) =$ .

$3 \times a = 3 a$ .
$a \times 3 = 3 a$ (et non pas $a 3$ ).
$b \times c = b c$ .
$11 \times (y + z) = 11 (y + z)$ .

Notation

Pour tout nombre $a$ , on peut noter le produit $n fois a \times a \times \dots \times a$ par $a^{n}$ .

Simplifier les expressions suivantes sans effectuer de calcul.

$7 \times 7 \times 7 =$ .
$5 \times 5 =$ .
$x \times 9 \times x =$ .
$11 \times 11 \times y \times z =$ .

$7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$ .
$5 \times 5 = 5^{2}$ .
$x \times 9 \times x = 9 \times x^{2} = 9 x^{2}$ .
$11 \times y \times z \times 11 = 1 1^{2} \times y \times z = 1 1^{2} yz$ .

Propriété

Soient $a$ , $b$ et $x$ trois nombres. Alors :

$a x + b x = (a + b) x$ .
$a x - b x = (a - b) x$ .

$3 u + 2 u = (3 + 2) u = 5 u$ et $51 v - 41 v = (51 - 41) v = 10 v$ .

Simplifier les expressions suivantes.

$45 s - 10 s + 6 s =$ .
$2 \times L + 2 \times ℓ =$ .

$45 s - 10 s + 6 s = (45 - 10) s + 6 s = 35 s + 6 s = (35 + 6) s = 41 s$ .
$2 \times L + 2 \times ℓ = 2 L + 2 ℓ = 2 (L + ℓ)$ .

Démontrer que, quelque soit le nombre positif $x$ , les figures ci-dessous ont le même périmètre.

tikzpicture-2

Tester l’égalité en remplaçant $x$ par tous les nombres positifs n’aurait pas de sens car il y a une infinité de nombres positifs. Il faut donc exprimer les périmètre de chacune des figures en fonction de $x$ puis les simplifier au maximum.

Le périmètre du carré est égal à $4 \times (x + 2) = 4 x + 4 \times 2 = 4 x + 8$ .
Le périmètre du triangle est égal à $x + 4 + x + 4 + 2 x = 2 x + x + x + 4 + 4 = (2 + 1 + 1) x + 8 = 4 x + 8$ .

Ces deux expressions littérales sont égales, donc ces deux figures ont le même périmètre quelque soit la valeur de $x$ .