Calcul numérique

Calculer avec des nombres relatifs, des fractions, des nombres décimaux.
Effectuer des calculs et des comparaisons pour traiter des problèmes.

Rappels sur le calcul numérique

Vocabulaire

Définitions

Dans une addition, on ajoute des termes, et le résultat est une somme.
Dans une soustraction, on soustrait des termes, et le résultat est une différence.
Dans une multiplication, on multiplie des facteurs, et le résultat est un produit.
Dans une division, le résultat est un quotient.

Quelle est la somme de $67$ et $345$ ?

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La somme de $67$ et $345$ est $412$ .

Choisir la bonne opération

Méthode

On utilise :

une addition lorsqu’il faut ajouter ou totaliser ;
une soustraction lorsqu’il faut enlever ou trouver le complément permettant d’aller d’un nombre à l’autre ;
une multiplication lorsqu’il faut ajouter plusieurs fois le même nombre ;
une division lorsqu’il faut faire un partage équitable.

Younes a $37$ € dans sa tirelire. Sa grand-mère lui donne $15$ € qu’il rajoute immédiatement dans sa tirelire. Il décide de s’acheter un jeu-vidéo à $29$ € grâce à son argent. Combien d’argent contient maintenant sa tirelire ?

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Il a maintenant $23$ € dans sa tirelire.

Mme Picasso a commandé $300$ pots de peinture pour l’école à $3$ € l’unité. Combien va-t-elle payer ?
Elle souhaite les distribuer équitablement aux $18$ salles de classe. Combien chaque classe recevra-t-elle de pots ?

Elle va payer $900$ €.
Chaque classe en recevra $16$ et il en restera $12$ .

Multiple, diviseur

Définition

On dit qu’un nombre entier est un multiple d’un autre, si ce nombre est dans la table de multiplication de l’autre. On dit également que cet autre nombre est un diviseur du premier nombre. On a la relation suivante : $multiple = diviseur \times quotient$

Dresser la liste des diviseurs des nombres suivants.

$6$ :
$21$ :
$15$ :
$11$ :

On calcule : $21 \approx 4, 58$ . Il suffit de tester la divisibilité de $21$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$ .
- $21 = 1 \times 21$ , donc $1$ et $21$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 2 \times 10 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $2$ .
- $21 = 3 \times 7$ , donc $3$ et $7$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 4 \times 5 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $4$ .
Les diviseurs de $21$ sont donc $1$ ; $3$ ; $7$ et $21$ .
On calcule : $6 \approx 2, 45$ . Il suffit de tester la divisibilité de $6$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $2$ .
- $6 = 1 \times 6$ , donc $1$ et $6$ sont des diviseurs de $6$ .
- $6 = 2 \times 3$ , donc $2$ et $3$ sont des diviseurs de $6$ .
Les diviseurs de $6$ sont donc $1$ ; $2$ ; $3$ et $6$ .
On calcule : $15 \approx 3, 87$ . Il suffit de tester la divisibilité de $15$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $15 = 1 \times 15$ , donc $1$ et $15$ sont des diviseurs de $15$ .
- $15 = 2 \times 7 + 1$ , donc $15$ n’est pas divisible par $2$ .
- $15 = 3 \times 5$ , donc $3$ et $5$ sont des diviseurs de $15$ .
Les diviseurs de $15$ sont donc $1$ ; $3$ ; $5$ et $15$ .
On calcule : $11 \approx 3, 32$ . Il suffit de tester la divisibilité de $11$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $11 = 1 \times 11$ , donc $1$ et $11$ sont des diviseurs de $11$ .
- $11 = 2 \times 5 + 1$ , donc $11$ n’est pas divisible par $2$ .
- $11 = 3 \times 3 + 2$ , donc $11$ n’est pas divisible par $3$ .
Les diviseurs de $11$ sont donc $1$ et $11$ .

Compléter la phrase suivante.

J’ai $100$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre pommes par carton, car .

J’ai $100$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre $20$ pommes par carton, car $100 = 5 \times 20$ .

Propriété

Tout nombre entier est divisible par $1$ et par lui-même.

Propriétés

Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$ .
Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ .
Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ .
Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .
Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$ .

Parenthèses

Calcul sans parenthèses

Règle

Dans une expression qui ne contient que des additions (ou que des multiplications), on peut effectuer les calculs dans l’ordre qu’on veut.

Calculer astucieusement $35 + 76 + 15$ .

$35 + 76 + 15 = 35 + 15 + 76 = 50 + 76 = 126$

Calculer astucieusement $5 \times 36 \times 2$ .

$5 \times 36 \times 2 = 5 \times 2 \times 36 = 10 \times 36 = 360$

Règle

Dans une expression qui ne contient que des additions et des soustractions (ou que des multiplications et des divisions), on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

Calculer $10 - 5 + 2$ .

$10 - 5 + 2 = 5 + 2 = 7$

Calculer $30 \div 5 \times 3$ .

$30 \div 5 \times 3 = 6 \times 3 = 18$

Règle

Dans une expression sans parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions. On dit que la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

Calculer $5 + 2 \times 7 + 1$ .

$5 + 2 \times 7 + 1 = 5 + 14 + 1 = 5 + 15 = 20$

Calculer $27 - 24 \div 4 + 7$ .

$27 - 24 \div 4 + 7 = 27 - 6 + 7 = 21 + 7 = 28$

Calcul avec parenthèses

Règle

Dans une expression avec des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses. À l’intérieur de celles-ci, on applique les priorités opératoires usuelles.

Calculer $9 \times (7 + 4)$ .

$9 \times (7 + 4) = 9 \times 11 = 99$

Calculer $4 \times (5 - 1) \div 2 - 1$ .

$4 \times (5 - 1) \div 2 - 1 = 4 \times 4 \div 2 - 1 = 16 \div 2 - 1 = 8 - 1 = 7$

Règle

Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on commence par les plus intérieures.

Calculer $2, 5 \times (7 - (5 - 3))$ .

$2, 5 \times (7 - (5 - 3)) = 2, 5 \times (7 - 2) = 2, 5 \times 5 = 12, 5$

Calculer $((2 + 3) \times 5 + 5) \times 6 \div (4 + 1)$ .

$((2 + 3) \times 5 + 5) \times 6 \div (4 + 1) = (5 \times 5 + 5) \times 6 \div 5 = (25 + 5) \times 6 \div 5 = 30 \times 6 \div 5 = 180 \div 5 = 36$

Règle

Une expression qui figure au numérateur ou au dénominateur d’un quotient est considérée comme étant entre parenthèses.

Calculer $\frac{9 + 5}{7}$ .

$\frac{9 + 5}{7} = \frac{14}{7} = 2$

Calculer $\frac{25 \div 5 + 2}{10}$ .

$\frac{25 \div 5 + 2}{10} = \frac{5 + 2}{10} = \frac{7}{10}$

Puissances

Définition

Soit $a$ un nombre et $n$ un entier strictement positif. Le nombre $a^{n}$ se lit " $a$ puissance $n$ " et est égal au produit de $n$ facteurs égaux à $a$ .

En particulier, $a^{2} = a \times a$ se lit " $a$ au carré" et $a^{3} = a \times a \times a$ se lit " $a$ au cube".

Le symbole $^{n}$ a la même priorité que la multiplication et la division.

Les carrés suivants sont à connaître : ce sont les (premiers) carrés parfaits.

$0^{2} = 0$
$1^{2} = 1$
$2^{2} = 4$
$3^{2} = 9$
$4^{2} = 16$
$5^{2} = 25$
$6^{2} = 36$
$7^{2} = 49$
$8^{2} = 64$
$9^{2} = 81$
$1 0^{2} = 100$
$1 1^{2} = 121$
$1 2^{2} = 144$
$1 3^{2} = 169$
$1 4^{2} = 196$
$1 5^{2} = 225$

Calculer $3 \times 5^{2} - 7$ .
Calculer $(3 \times 5)^{2} - 7$ .
Que peut-on dire des deux calculs précédents ?

$3 \times 5^{2} - 7 = 3 \times 25 - 7 = 3 \times 25 - 7 = 75 - 7 = 68$
$(3 \times 5)^{2} - 7 = 1 5^{2} - 7 = 15 \times 15 - 7 = 225 - 7 = 218$
Les deux calculs donnent des résultats différents, bien que les deux expressions semblent "similaires".