Fractions

Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire).
Savoir vérifier si deux fractions sont égales.
Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.
Calculer avec des nombres relatifs, des fractions, des nombres décimaux.
Savoir si une fraction donnée est irréductible et savoir simplifier une fraction donnée.

Fraction quotient

Notion de fraction quotient

Définition

Le quotient d’un nombre $a$ par un nombre non nul $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ . On le note $a \div b$ ou $\frac{a}{b}$ .

Compléter les affirmations ci-dessous.

$\frac{12}{7}$ est le de $12$ par $7$ .
C’est le nombre qui, multiplié par , donne $12$ . On a donc $\times = 12$ .

$\frac{12}{7}$ est le quotient de $12$ par $7$ .
C’est le nombre qui, multiplié par $7$ , donne $12$ . On a donc $\frac{12}{7} \times 7 = 12$ .

Définition

Le nombre $\frac{a}{b}$ est une fraction.
L’écriture $\frac{a}{b}$ est appelée écriture fractionnaire.

Rappel

Par le passé, nous avons déjà étudié les nombres décimaux : ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$ . Ces nombres admettent une écriture décimale (sous forme d’un nombre à virgule).

Donner l’écriture décimale de la fraction $\frac{26}{5}$ .

tikzpicture-1

L’écriture décimale de la fraction $\frac{26}{5}$ est $5, 2$ .

Donner l’écriture décimale de la fraction $\frac{2}{3}$ . Que constatez-vous ?

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La division ne s’arrête pas : la fraction $\frac{2}{3}$ n’admet pas d’écriture décimale à proprement parler. On peut cependant en donner une valeur approchée : $\frac{2}{3} \approx 0, 667$ (valeur approchée au millième).

Remarque

Une fraction / un quotient n’est pas toujours un nombre décimal.

Reconnaître des fractions égales

Définition

Les produits en croix de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont $a \times d$ et $c \times d$ .

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Propriété

Deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux.

Les fractions $\frac{4}{7}$ et $\frac{12}{21}$ sont-elles égales ?

Les produits en croix sont :

$4 \times 21 = 84$ .
$7 \times 12 = 84$ .

Ils sont égaux, donc ces fractions sont égales.

Les fractions $\frac{9}{6}$ et $\frac{5}{3}$ sont-elles égales ?

Les produits en croix sont :

$9 \times 3 = 27$ .
$6 \times 5 = 30$ .

Ils ne sont pas égaux, donc ces fractions ne sont pas égales.

Calcul avec des fractions

Multiplication du numérateur et du dénominateur

Propriété

Une fraction ne change pas de valeur si l’on multiplie ou si l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Calculer $3, 6 \div 1, 2$ en utilisant la propriété ci-dessus.

$3, 6 \div 1, 2 = \frac{3 , 6}{1 , 2} = \frac{36}{12} = 36 \div 12 = 3$

Mettre les fractions suivantes au même dénominateur.

$\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{4}$ :
$\frac{5}{6}$ et $\frac{5}{3}$ :
$\frac{10}{2}$ et $\frac{4}{1}$ :
$\frac{7}{8}$ et $\frac{9}{4}$ :
$\frac{1}{10}$ et $\frac{1}{9}$ :
$\frac{11}{4}$ et $\frac{4}{3}$ :

$\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{4}$ : $\frac{2}{4}$ et $\frac{5}{4}$ .
$\frac{5}{6}$ et $\frac{5}{3}$ : $\frac{5}{6}$ et $\frac{10}{6}$ .
$\frac{10}{2}$ et $\frac{4}{1}$ : $\frac{10}{2}$ et $\frac{8}{2}$ .
$\frac{7}{8}$ et $\frac{9}{4}$ : $\frac{7}{8}$ et $\frac{18}{8}$ .
$\frac{1}{10}$ et $\frac{1}{9}$ : $\frac{2}{90}$ et $\frac{10}{90}$ .
$\frac{11}{4}$ et $\frac{4}{3}$ : $\frac{33}{12}$ et $\frac{16}{12}$ .

Méthode

Pour comparer deux fractions :

on les mets au même dénominateur ;
puis on compare les numérateurs.

Comparer les fractions suivantes.

$\frac{112}{63}$ et $\frac{110}{63}$ :
$\frac{45}{7}$ et $\frac{34}{7}$ :
$\frac{37}{12}$ et $\frac{10}{3}$ :
$\frac{11}{6}$ et $\frac{3}{4}$ :
$\frac{5}{6}$ et $\frac{6}{7}$ :
$\frac{1}{2}$ et $\frac{50}{100}$ :

$\frac{112}{63} > \frac{110}{63}$ .
$\frac{45}{7} > \frac{34}{7}$ .
$\frac{37}{12} < \frac{40}{12}$ .
$\frac{22}{12} > \frac{9}{12}$ .
$\frac{35}{42} < \frac{36}{42}$ .
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Simplification de fractions

Définition

Simplifier une fraction, c’est l’écrire avec une autre fraction qui lui est égale et dont le dénominateur est plus petit. Pour cela, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.

Simplifier les fractions suivantes.

$\frac{2}{4} =$
$\frac{8}{4} =$
$\frac{10}{100} =$
$\frac{45}{20} =$
$\frac{33}{22} =$
$\frac{108}{99} =$

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
$\frac{8}{4} = \frac{4}{1} = 4$ .
$\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ .
$\frac{45}{20} = \frac{9}{4}$ .
$\frac{33}{22} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{108}{99} = \frac{12}{11}$ .

Addition, soustraction, multiplication par un nombre

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, alors on les met au même dénominateur avant d’additionner (ou soustraire) les numérateurs.

Effectuer les calculs suivants.

$\frac{12}{5} + \frac{8}{5}$ =
$\frac{4}{6} + \frac{2}{6}$ =
$\frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ =
$\frac{1}{20} + \frac{9}{20}$ =
$\frac{1}{5} + \frac{1}{10}$ =
$\frac{3}{4} + \frac{5}{2}$ =

$\frac{12}{5} + \frac{8}{5} = \frac{12 + 8}{5} = \frac{20}{5} = \frac{4}{1} = 4$ .
$\frac{4}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$ .
$\frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ .
$\frac{1}{20} + \frac{9}{20} = \frac{1 + 9}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ .
$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 1}{10} = \frac{3}{10}$ .
$\frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{3}{4} + \frac{10}{4} = \frac{3 + 10}{4} = \frac{13}{4}$ .

Propriété

Pour multiplier une fraction par un nombre, on multiplie le numérateur par ce nombre entier et on garde le dénominateur.

Effectuer les calculs suivants.

$\frac{5}{2} \times 4$ =
$\frac{10}{3} \times 10$ =
$\frac{9}{7} \times 8$ =
$\frac{1}{5} \times 3$ =
$\frac{4}{4} \times 121$ =
$\frac{5}{2} \times 2$ =

$\frac{5}{2} \times 4 = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = \frac{10}{1} = 10$ .
$\frac{10}{3} \times 10 = \frac{10 \times 10}{3} = \frac{100}{3}$ .
$\frac{9}{7} \times 8 = \frac{9 \times 8}{7} = \frac{72}{7}$ .
$\frac{1}{5} \times 3 = \frac{1 \times 3}{5} = \frac{3}{5}$ .
$\frac{4}{4} \times 121 = \frac{4 \times 121}{4} = \frac{484}{4} = \frac{121}{1} = 121$ .
$\frac{5}{2} \times 2 = 5$ (car $\frac{5}{2}$ est le nombre qui multiplié par $2$ donne $5$ ).

Propriété

Multiplier une quantité par une fraction revient à calculer la fraction de cette quantité.

Multiplier une quantité par $0, 1$ revient à calculer $\frac{1}{10}$ de cette quantité : $7 \times 0, 1 = 7 \times \frac{1}{10} = 0, 7$ .
Multiplier une quantité par $0, 5$ revient à calculer $\frac{1}{2}$ (soit la moitié) de cette quantité : $12 \times 0, 5 = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ .

Une bouteille contient trois quarts de litre de jus de fruits.

Combien de quarts de litre y a-t-il dans une caisse de six bouteilles ?
Salomé ouvre une bouteille et en boit un dixième, Raphaëlle deux dixièmes et Carla cinq dixièmes. Ont-elles fini la bouteille ?

$6 \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4}$ Il y a $18$ quarts de litre dans une caisse de six bouteilles.
$\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}$ Les filles ont bu $\frac{8}{10}$ de la bouteille : celle-ci n’est donc pas terminée car il en reste les $\frac{2}{10}$ de sa contenance initiale.

Romane a gagné $1450$ € ce mois-ci et elle en a dépensé les $\frac{3}{50}$ pour payer sa facture d’électricité. Quel est le montant de sa facture ?

$1450 \times \frac{3}{50} = \frac{4350}{50} = \frac{87}{1} = 87$ Le montant de sa facture d’électricité est de $87$ €.