Parallélogrammes

Connaître la définition d’un parallélogramme.
Savoir utiliser les propriétés usuelles associées aux parallélogrammes.
Savoir calculer l’aire d’un parallélogramme.

Généralités

Définition et construction

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

Sachant que $(A D) / / (BC)$ et $(A B) / / (D C)$ , justifier que le quadrilatère $A BC D$ ci-contre est un parallélogramme.

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Les côtés opposés du quadrilatère $A BC D$ sont $(A D)$ ; $(BC)$ et $(A B)$ ; $(D C)$ . Ceux-ci sont parallèles, donc $A BC D$ est un parallélogramme.

Méthode

On peut construire un parallélogramme à la règle et à l’équerre.

Nous allons tracer un parallélogramme $RST U$ tel que $RS = 4, 5$ cm, $R U = 3, 2$ cm et $SR U = 110$ °.

Construire un triangle $U RS$ tel que $RS = 4, 5$ cm, $R U = 3, 2$ cm et $SR U = 110$ °. Effacer le segment $[U S]$ .
Tracer $(d_{1})$ , la droite parallèle à $(R U)$ passant par $S$ .
Tracer $(d_{2})$ , la droite parallèle à $(RS)$ passant par $U$ . Elle coupe $(d_{1})$ en $T$ .

Méthode

On peut construire un parallélogramme lorsque l’on dispose d’un quadrillage.

Placer le point $D$ dans le quadrillage ci-dessous de sorte que $D EFG$ soit un parallélogramme.

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Propriétés

Propriété

Les côtés opposés d’un parallélogramme sont deux à deux de même longueur.
Les angles opposés d’un parallélogramme sont deux à deux de même mesure.

$TO U R$ est un parallélogramme tel que $TO = 5$ cm et $O U = 2, 5$ cm. Déterminer les longueurs $U R$ et $RT$ .

$TO U R$ est un parallélogramme de côtés opposés $[TO]$ ; $[U R]$ et $[O U]$ ; $[RT]$ . Or, les côtés opposés d’un parallélogramme sont deux à deux de même longueur. Donc $U R = TO = 5$ cm et $RT = O U = 2, 5$ cm.

Propriété

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est le centre de symétrie de celui-ci.

$A BC D$ est un parallélogramme de centre $O$ tel que $A B = 2$ cm, $A D = 1, 4$ cm et $B A D = 45$ °. On peut en déduire que :

$O$ est le milieu des segments $[A C]$ et $[B D]$ .
$O$ est le centre de symétrie de $A BC D$ .
$D C = 2$ cm et $BC = 1, 4$ cm.
$BC D = 45$ °.

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Reconnaître un parallélogramme

Propriété

Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont deux à deux de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si deux côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

$V E L O$ est un quadrilatère non croisé tel que $V E = O L$ et $V O = E L$ . Quelle est la nature de $V E L O$ ? Justifier.

$V E L O$ est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont $[V E]$ ; $[L O]$ et $[V O]$ ; $[E L]$ . Or, si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont deux à deux de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Donc $V E L O$ est un parallélogramme.

Parallélogrammes particuliers

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Propriété

Les rectangles, les carrés et les losanges sont des parallélogrammes.

Dans la figure ci-contre, les droites $(A D)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Quelle est la nature du quadrilatère $A BC D$ ?
Quelle est la nature du quadrilatère $A D EF$ ?

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$A BC D$ est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont $[A B]$ ; $[C D]$ et $[A D]$ ; $[BC]$ tels que $A D = BC$ . Or, si deux côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Donc $A BC D$ est un parallélogramme.
Les quatre côtés de $A D EF$ sont de même longueur. Donc $A D EF$ est un losange.

Aire

Définition

Dans un parallélogramme, on appelle hauteur relative à un côté un segment perpendiculaire à ce côté, dont une extrémité est sur ce côté et l’autre est sur le côté opposé.

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Propriété

L’aire $A$ d’un parallélogramme est égale au produit des longueurs d’un côté et de la hauteur relative à ce côté. $A = Hauteur \times Base$

Calculer l’aire $A$ du parallélogramme ci-dessous (représenté en grandeur réelle).

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Ce parallélogramme possède une hauteur mesurant $3$ cm et dont le côté opposé mesure aussi $3$ cm. Donc son aire $A$ vaut $A = 3 cm \times 3 cm = 9 cm²$ .