Périmètres et aires

Connaître et utiliser les formules d’aire et de périmètre des figures usuelles.
Effectuer des conversions d’aire et de longueur.

Périmètres

Définitions

Définition

Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Déterminer le périmètre $P_{1}$ de la figure 1 ainsi que le périmètre $P_{2}$ de la figure 2.

$P_{1} =$
$P_{2} =$

tikzpicture-1

$P_{1} = 14 unit \overset{e}{ˊ} s de longueur$ .
$P_{2} = 14 unit \overset{e}{ˊ} s de longueur$ .

Méthode

L’unité de longueur de référence est le mètre. Pour convertir des unités de longueur, on effectue des multiplications ou des divisions par $10$ . On peut pour cela s’aider d’un tableau de conversion.

km	hm	dam	m	dm	cm	mm

En utilisant le tableau ci-dessus (si besoin), effectuer les conversions suivantes.

$1406$ mm = m
$604$ dam = cm
$10, 2$ km = hm
$5, 8$ dm = m

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$1,$	$4$	$0$	$6$
$6$	$0$	$4$	$0$	$0$	$0$
$10$	$2$
			$0,$	$5$	$8$

$1406$ mm = $1, 406$ m
$604$ dam = $604000$ cm
$10, 2$ km = $102$ hm
$5, 8$ dm = $0, 58$ m

Périmètre d’un polygone

Propriété

Le périmètre d’un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.

tikzpicture-2

Coder la figure $TR I$ . De quelle figure s’agit-il ?
Calculer le périmètre $P$ de $TR I$ .

$P =$

Voici la figure une fois codée.

Il s’agit d’un triangle rectangle.
On obtient son périmètre $P$ en additionnant les longueurs de ses côtés.

$P = TR + R I + I T = 3 \times 1, 5 cm = 4, 5 cm$

Périmètre d’un cercle

Propriété

Le périmètre (ou la circonférence) $P$ d’un cercle est égal au produit de son diamètre $d$ par le nombre $π$ . $P = d \times π$

Calculer le périmètre $P$ du cercle $C$ de centre $O$ ci-dessous (arrondir le résultat au centième).

tikzpicture-4

$P =$

tikzpicture-5

Il s’agit d’un cercle de rayon $r = 1, 7$ cm, donc de diamètre $d = 2 \times r = 3, 4$ cm. On obtient son périmètre $P$ en utilisant la formule précédente.

$P = π \times 3, 4 cm \approx 10, 68 cm$

Calculer la circonférence d’un cercle de rayon $5$ cm (arrondir le résultat au dixième).
Calculer la longueur d’un cercle de diamètre $10$ cm (arrondir le résultat au dixième).
Calculer le périmètre d’un demi-cercle de diamètre $20$ cm (donner le résultat exact).

La circonférence d’un cercle de rayon $5$ cm arrondie au dixième vaut $π \times 2 \times 5 c m = 10 π = 31, 4 c m$ .
Un cercle de diamètre $10$ cm a un rayon de $5$ cm, donc la réponse est la même que la précédente.
Le périmètre d’un demi-cercle de rayon $20$ cm vaut exactement $π \times 20 c m \div 2 = 10 π c m$ .

Aires

Définitions

Définition

L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure, dans une unité d’aire donnée.

Déterminer l’aire $A_{1}$ de la figure 1 ainsi que l’aire $A_{2}$ de la figure 2.

$A_{1} =$
$A_{2} =$

tikzpicture-6

$A_{1} = 6 unit \overset{e}{ˊ} s d’aire$ .
$A_{2} = 7 unit \overset{e}{ˊ} s d’aire$ .

Méthode

L’unité d’aire de référence est le mètre carré. Pour convertir des unités d’aire, on effectue des multiplications ou des divisions par $100$ . On peut pour cela s’aider d’un tableau de conversion.

km²		hm²		dam²		m²		dm²		cm²		mm²

En utilisant le tableau ci-dessus (si besoin), effectuer les conversions suivantes.

$12$ m² = cm²
$1500$ mm² = cm²
$10, 2$ km² = hm²
$5, 8$ dm² = m²

Remplissons le tableau :

km²		hm²		m²		dm²		cm²		mm²
				$1$	$2$	$0$	$0$	$0$	$0$
								$1$	$5,$	$0$	$0$
$1$	$0$	$2$	$0$
					$0,$	$0$	$5$	$8$

Et nous pouvons effectuer les conversions :

$12$ m² = $120000$ cm²
$1500$ mm² = $15$ cm²
$10, 2$ km² = $1020$ hm²
$5, 8$ dm² = $0, 058$ m²

Formules

Propriété

Figure	Aire $A$
	$A = c \times c$
	$A = L \times ℓ$
	$A = b \times h$
	$A = (b \times h) \div 2$
	$A = (b \times h) \div 2$

Déterminer l’aire de chacune des figures suivantes.

Un carré de côté $2$ cm.
$A_{1} =$
Un rectangle de longueur $5$ cm et de largeur $0, 2$ dam.
$A_{2} =$
Un triangle rectangle de hauteur $5$ dam et de base $2000$ mm.
$A_{3} =$

D’après les formules ci-dessus :

$A_{1} = 2 cm \times 2 cm = 4 cm²$ .
$A_{2} = 5 cm \times 200 cm = 1000 cm²$ .
$A_{3} = 0, 2 dam \times 5 dam \div 2 = 0, 5 dam²$ .