Solides
Solides
12
Reconnaître des solides (pavé droit, cube, prisme, cylindre, pyramide, cône, boule).
Savoir calculer le volume d’un prisme, d’un pavé droit, d’un cube.
Construire et mettre en relation des représentations de ces solides (vues en perspective cavalière, de face, de dessus, sections planes, patrons, etc.).
Généralités sur les solides
Définition
Un solide est une forme géométrique à trois dimensions.
Un patron d’un solide est une figure en grandeur réelle permettant de construire ce solide après découpage et pliage.
Polyèdres
Définition
Un polyèdre est un solide dont les faces sont des polygones.
Les côtés de ces polygones sont appelés arêtes, ils sont délimités par des points appelés sommets.
Citer trois solides qui sont des polyèdres.
Citer trois solides qui ne sont pas des polyèdres.
Le cube, la pyramide et le tétraèdre sont des polyèdres.
Le cylindre, le cône et la boule ne sont pas des polyèdres.
Représenter un solide
Méthode
Pour représenter un solide dans un plan, on peut utiliser la perspective cavalière, dans laquelle les arêtes parallèles et de même longueur sont représentées par des segments parallèles et de même longueur, et les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
Dans la partie précédente, on a représenté un polyèdre en perspective cavalière.
Volumes
Définition
Le volume est une grandeur mesurant la place qu’un solide prend dans l’espace. L’unité de référence est le mètre cube, noté m³. Il s’agit du volume d’un cube d’un mètre d’arête.
Combien de petits cubes composent le grand cube ci-contre ?
On considère que les arêtes de ces petits cubes mesurent m. Quel est le volume du grand cube ?
Ce grand cube est composé de petits cubes.
Le volume d’un petit cube est de m³. Donc le volume du grand cube est de m³.
Définition
Le litre, noté L, est une unité de contenance équivalente au dm³ : L dm³.
On remplit d’eau chacun des petits cubes de l’exercice précédent. Quelle quantité d’eau (en litres) contient le grand cube ?
Le volume du grand cube est de m³. Or, m³ dm³. Donc le volume, en litres, du grand cube est L.
Solides usuels
Le cube, le pavé droit et le prisme droit
Définition
Un cube est un polyèdre dont les faces sont des carrés.
Définition
Un pavé droit est un polyèdre dont les faces sont des rectangles.
Définition
Un prisme droit est un polyèdre qui a deux faces superposables et parallèles, et dont les autres faces sont des rectangles.
Réaliser deux patrons différents d’un pavé droit de longueur cm, de largeur cm, et de hauteur cm.
Voici deux patrons différents d’un pavé droit de longueur cm, de largeur cm, et de hauteur cm.
Un cube est-il un pavé droit ? Justifier.
Un cube est un polyèdre dont les faces sont des carrés et un pavé droit est un polyèdre dont les faces sont des rectangles. Or, les carrés sont des rectangles. Donc, un cube est un pavé droit.
Propriété
Le volume d’un pavé droit de longueur , de largeur et de hauteur est :
Dans le cadre d’un cube d’arête , la formule devient :
Calculer le volume du cube ci-dessous.
Calculer le volume du pavé droit ci-dessous.
Le cylindre
Définition
Un cylindre est un solide formé de deux disques parallèles (appelées bases), et d’une surface latérale correspondant à un rectangle enroulé le long de ses bases.
Propriété
Le volume d’un cylindre de rayon et de hauteur est :
Une canette de cL d’un célèbre soda vendu dans le commerce peut être représentée par un cylindre de diamètre cm et de hauteur cm.
Quel volume maximal de soda peut-être contenu dans une telle cannette ? Donner le résultat en cL en arrondissant au millilitre près.
On utilise la formule pour calculer le volume d’un cylindre de rayon cm et de hauteur cm :