Statistiques

Recueillir des données, les organiser.
Lire et interpréter des données sous forme de données brutes, de tableau, de diagramme (diagramme en bâtons, diagramme circulaire, histogramme).
Calculer des effectifs, des fréquences.
Calculer et interpréter des indicateurs de position ou de dispersion d’une série statistique.

Vocabulaire

Définitions

Une série de données désigne un ensemble de données, ordonnées ou non, numériques ou non.
L’effectif d’une donnée est le nombre de fois où elle apparaît dans cette série.
L’effectif total est la somme de tous les effectifs.
La fréquence d’une donnée est le quotient de son effectif par l’effectif total. $fr e ˊ quence = \frac{effectif}{effectif total}$

Julie a regroupé ses dernières notes obtenues en mathématiques : $11$ ; $15$ ; $12$ ; $16$ ; $15$ .

La série de nombres ci-dessus est une série de donnée dont l’effectif total est $5$ . L’effectif de la note $15$ est $2$ , et sa fréquence est $\frac{2}{5}$ .

Calcul avec des données

Moyenne

Définition

La moyenne pondérée d’une série de données numérique est égale à la somme de toutes les valeurs de la série divisée par le nombre total de ces valeurs. $moyenne = \frac{somme des valeurs}{effectif total}$

La moyenne d’une série de données est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.

Thomas a obtenu les notes suivantes au cours de son premier trimestre en mathématiques. Les notes sont sur 20.

Devoirs maison (coefficient 1) : $14$ ; $16$ .
Devoirs surveillés (coefficient 3) : $11$ ; $13$ ; $9$ .

Calculer la moyenne de ses notes.
Que se passerait-il si Thomas avait obtenu $1$ point de plus par devoir ?

$\frac{14 + 16 + 11 + 11 + 11 + 13 + 13 + 13 + 9 + 9 + 9}{11} = \frac{119}{11} = 10, 818181... \approx 10, 82$ La moyenne des notes de Thomas est d’environ $10, 82$ .
Si Thomas avait obtenu un point de plus par devoir, sa moyenne aurait été de $\frac{119 + 11}{11} = \frac{130}{11} = 11, 8181... \approx 11, 82$ . Sa moyenne aurait augmenté d’un point.

Médiane

Définition

Dans une série de données numériques ordonnées, la médiane désigne le milieu :

la moitié des données sont inférieures ou égales à la médiane ;
l’autre moitié des données sont supérieures ou égales à la médiane.

Ci-contre se trouve les tailles des $11$ joueurs titulaire de l’Équipe de France pour le match contre l’Autriche qui a eu lieu le 22 septembre 2022.

Quelle est la taille moyenne de ce $11$ titulaire ?
1. Lister ces tailles par ordre croissant.
2. Quelle est la médiane de cette série de tailles ?

Joueur	Taille (en mètres)
M. Maignan	$1, 91$
J. Koundé	$1, 78$
R. Varane	$1, 91$
B. Badiashile	$1, 94$
J. Clauss	$1, 78$
A. Tchouaméni	$1, 87$
Y. Fofana	$1, 76$
F. Mendy	$1, 80$
A. Griezmann	$1, 76$
O. Giroud	$1, 93$
K. Mbappé	$1, 78$

$\frac{1 , 91 + 1 , 78 + 1 , 91 + 1 , 94 + 1 , 78 + 1 , 87 + 1 , 76 + 1 , 80 + 1 , 76 + 1 , 93 + 1 , 78}{11} = \frac{20 , 22}{11} \approx 1, 84$ La taille moyenne de ce $11$ titulaire est d’environ $1, 84$ m.
1. $1, 76$ ; $1, 76$ ; $1, 78$ ; $1, 78$ ; $1, 78$ ; $1, 80$ ; $1, 87$ ; $1, 91$ ; $1, 91$ ; $1, 93$ ; $1, 94$ .
2. La médiane de cette série de valeurs est la 6ème valeur, soit $1, 80$ m.

Étendue

Définition

L’étendue d’une série de données numériques est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

Voici les températures moyennes historiquement mesurées à Boissy-Saint-Léger en fonction du mois de l’année.

Mois	janv.	févr.	mars	avr.	mai	juin	juil.	août	sept.	oct.	nov.	déc.
Température (en °C)	$4$	$4$	$8$	$10$	$14$	$17$	$20$	$19$	$16$	$12$	$7$	$5$

Quelle est l’étendue de cette série de données ?

La plus grande valeur est $20$ ° et la plus petite est $4$ °. Donc l’étendue de cette série de données est $20 - 4$ °, c’est-à-dire $16$ °.

Représentation de données

Diagrammes en bâtons

Définition

Un diagramme en bâtons permet de comparer visuellement des données. Dans un tel diagramme, les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux valeurs qu’elles représentent.

Léa a $6$ cousins et cousines :

$3$ ont deux ans ;
$1$ a six ans ;
$2$ ont dix ans.

Représenter dans un diagramme en bâtons le nombre de ses cousins et cousines en fonction de leur âge.

tikzpicture-1

Diagrammes circulaires

Définition

Un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) permet de mettre en évidence la répartition de données suivant plusieurs catégories. Dans un tel diagramme, les mesures des angles sont proportionnelles aux valeurs qu’elles représentent.

Les ingrédients pour fabriquer des petits biscuits alsaciens de Noël sont les suivants :

$250$ g de farine ;
$100$ g d’amandes en poudre ;
$70$ g de sucre en poudre ;
$220$ g de beurre.

Compléter le tableau de proportionnalité suivant.

Ingrédient Farine Amandes Sucre Beurre Total

Quantité (en grammes) $250$ $100$ $70$ $220$ $640$

Angle (en degrés) $360$
Représenter la répartition des ingrédients dans un diagramme circulaire.

Ingrédient	Farine	Amandes	Sucre	Beurre	Total
Quantité (en grammes)	$250$	$100$	$70$	$220$	$640$
Angle (en degrés)					$360$

Ingrédient Farine Amandes Sucre Beurre Total

Quantité (en grammes) $250$ $100$ $70$ $220$ $640$

Angle (en degrés) $140, 625$ $56, 25$ $39, 375$ $123, 75$ $360$

Ingrédient	Farine	Amandes	Sucre	Beurre	Total
Quantité (en grammes)	$250$	$100$	$70$	$220$	$640$
Angle (en degrés)	$140, 625$	$56, 25$	$39, 375$	$123, 75$	$360$

Graphique cartésien

Définition

Un graphique cartésien permet de montrer visuellement l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre. Ce type de graphique est souvent utilisé pour étudier l’évolution d’une grandeur dans le temps.

On a représenté graphiquement ci-dessous l’évolution de la taille d’un des cousins de Léa en fonction de son âge.

tikzpicture-3

Quel taille faisait-il à $1$ an ?
À quel âge mesurait-il $95$ cm ?

Le cousin de Léa mesurait $80$ cm à $1$ an.
Le cousin de Léa mesurait $95$ cm à $4$ ans.

Méthode

Pour représenter une grandeur $B$ en fonction d’une grandeur $A$ dans un graphique cartésien, on place :

sur l’axe horizontal, appelé axe des abscisses, les valeurs de la grandeur $A$ ;
sur l’axe vertical, appelé axe des ordonnées, les valeurs de la grandeur $B$ .

Voici un relevé météorologique des températures de Boissy Saint-Léger du 10 janvier 2023.