Symétries

Comprendre l’effet d’une symétrie (axiale et centrale).
Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques.
Mener des raisonnements et s’initier à la démonstration en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations.

Symétrie axiale

Définitions

Une symétrie axiale est une transformation géométrique du plan qui modélise un effet miroir par rapport à une droite $(d)$ .
Le résultat est appelé symétrique par rapport à $(d)$ .
La droite $(d)$ est l’axe de symétrie de cette transformation.

tikzpicture-1

Compléter les figures de sorte que la droite $(d)$ soit leur axe de symétrie.

tikzpicture-2

tikzpicture-3

Méthode de construction

Propriété

Soit $(d)$ une droite.

Si un point $A$ n’appartient pas à $(d)$ , alors son symétrique par rapport à $(d)$ est le point $A^{'}$ tel que $(d)$ est la médiatrice de $[A A^{'}]$ .
Si un point $B$ appartient à $(d)$ , alors son symétrique par rapport à $(d)$ est lui-même.

tikzpicture-4

tikzpicture-5

Construire $M^{'}$ et $N^{'}$ , les symétriques respectifs de $M$ et de $N$ par rapport à $(d)$ .
1. Placer $I$ le point d’intersection de $(M M^{'})$ et $(d)$ .
2. Que peut-on dire de $M I$ et $I M^{'}$ ? Justifier.

2. La droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[M M^{'}]$ , donc par définition, $M I = I M^{'}$ .

Méthode

Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à une droite, on construit le symétrique de chacun de ses points par rapport à cette droite.

Pour chacune des figures ci-dessous, construire son symétrique par rapport à la droite $(d)$ .

tikzpicture-8

tikzpicture-9

Propriétés

Si des points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à une droite sont alignés. On dit que la symétrie axiale conserve les alignements.
Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur. On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.
Deux figures symétriques par rapport à une droite ont la même forme. On dit que la symétrie axiale conserve les angles, les périmètres et les aires.

tikzpicture-10

1. Les points $R$ , $S$ et $T$ sont-ils alignés ?
2. Tracer les symétriques des points $R$ , $S$ et $T$ par rapport à la droite $(d)$ . Les nommer $R^{'}$ , $S^{'}$ et $T^{'}$ .
3. Sans le vérifier, dire si les points $R^{'}$ , $S^{'}$ et $T^{'}$ sont alignés. Justifier.
1. Mesurer le segment $[ST]$ . Quelle longueur fait-il ?
2. Sans le vérifier, donner la mesure du segment $[S^{'} T^{'}]$ . Justifier.

1. Oui, ces points sont alignés car ils sont tous trois situés sur la droite $(RT)$ .
3. Oui, ces points sont alignés car ce sont les symétriques respectifs de $R$ , $S$ et $T$ et la symétrie axiale conserve les alignements.
Le segment $[ST]$ mesure environ $4$ cm.
Les points $S^{'}$ et $T^{'}$ sont les symétriques respectifs de $S$ et $T$ . Or, la symétrie axiale conserve les longueurs. Donc, $S^{'} T^{'} = ST = 4$ cm.

Symétrie centrale

Définitions

Une symétrie centrale est une transformation géométrique du plan qui modélise un demi-tour par rapport à un point $O$ .
Le résultat est appelé symétrique par rapport à $O$ .
Le point $O$ est le centre de symétrie de cette transformation.

tikzpicture-12

Méthode de construction

Propriété

Soit $O$ un point.

Le symétrique par rapport à $O$ d’un point $A$ distinct de $O$ est le point $A^{'}$ tel que $O$ est le milieu de $[A A^{'}]$ .
Le symétrique par rapport à $O$ de $O$ est lui-même.

tikzpicture-13

Construire $A^{'}$ et $A^{''}$ , les symétriques respectifs du point $A$ par rapport aux points $O_{1}$ et $O_{2}$ .

tikzpicture-14

tikzpicture-15

Méthode

Comme pour la symétrie axiale, pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un point, on construit le symétrique de chacun des points qui la composent.

Pour chacune des figures ci-dessous, construire son symétrique par rapport au point $O$ .

tikzpicture-16

tikzpicture-17

Propriétés

Propriété

Comme la symétrie axiale, la symétrie centrale conserve les alignements, les longueurs, les angles, les périmètres et les aires.

Montrer que $M^{'} N^{'} = 5$ cm. Quelle est la nature de $MN M^{'} N^{'}$ ?

tikzpicture-18

Comme $MO = O M^{'}$ , $M^{'}$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ . De plus, comme $NO = O N^{'}$ , $N^{'}$ est le symétrique de $N$ par rapport à $O$ . Ainsi, $[M^{'} N^{'}]$ est le symétrique de $[MN]$ par rapport à $O$ . Comme la symétrie centrale conserve les longueurs, $M^{'} N^{'} = MN = 5$ cm.

On montre de la même manière que $M N^{'} = N M^{'} = 5$ cm. Ainsi, $MN M^{'} N^{'}$ est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur : c’est un losange.