Triangles

Savoir que la somme des angles d’un triangle est égale à $180$ °.
Connaître les définitions de hauteur et de médiatrice. Savoir en tracer.
Connaître l’inégalité triangulaire et savoir l’utiliser.

Rappels

Définitions

Définition

Un triangle est un polygone à trois côtés.
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur.
Un triangle quelconque est un triangle qui n’est ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral.

Parmi les triangles ci-dessous, entourer en rouge le triangle rectangle, en bleu le triangle isocèle, en vert le triangle équilatéral et en noir le triangle quelconque.

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Construction

Propriété

On peut construire un triangle si et seulement si :

on connaît les longueurs des trois côtés du triangle (construction à la règle et au compas) ;
on connait la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle formé par ces deux côtés (construction à la règle et au rapporteur) ;
on connait la mesure de deux angles et la longueur du côté commun à ces deux angles (construction à la règle et au rapporteur).

Construire le triangle $XM L$ tel que $XM = 4$ cm, $M L = 3$ cm et $L X = 2$ cm.

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Construire le triangle $W EB$ tel que $W E = 4$ cm, $W B = 3, 5$ cm et $E W B = 40$ °.

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Construire le triangle $U R L$ tel que $U R = 5$ cm, $R UL = 25$ ° et $L R U = 34$ °.

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Hauteur issue d’un sommet

Définition

Soit $A BC$ un triangle. La hauteur du triangle $A BC$ issue de $A$ est la droite passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $(BC)$ .

Dans les deux triangles $A BC$ ci-dessous, avec l’équerre, tracer la hauteur du triangle $A BC$ issue de $A$ . Appeler $(h)$ cette hauteur et $I$ le point d’intersection entre $(h)$ et $(BC)$ .

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Propriétés

Médiatrices

Définition

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à celui-ci qui passe par son milieu.

Propriété

Les trois médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un point : il s’agit du centre du cercle circonscrit au triangle. Celui-ci passe par tous les sommets du triangle.

Tracer les trois médiatrices du triangle $L A C$ ci-dessous. Puis, tracer le cercle circonscrit à $L A C$ .

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Somme des angles

Propriété

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est de $180$ °.

Corollaires

Les angles d’un triangle équilatéral mesurent $60$ °.
Les angles de la base d’un triangle isocèle ont la même mesure.
La somme des angles aigus d’un triangle rectangle vaut $90$ °.

Soit $A BC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $B A C = 40$ °. Montrer que $A CB = CB A = 70$ °.

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est de $180$ °. Donc : $A CB + CB A + B A C A CB + CB A = 180° = 180° - B A C = 180° - 40° = 140°$ Or, dans un triangle isocèle, les angles de la base d’un triangle isocèle ont la même mesure. Donc $A CB = CB A$ . En réinjectant cela dans l’équation du dessus : $2 A CB A CB = 140° = 70°$ On a bien $A CB = CB A = 70$ °.

Inégalité triangulaire

Propriété

Soit $A BC$ un triangle. Alors $A C \leq CB + B A$ . De plus, $A C = CB + B A$ si et seulement si $B \in [A C]$ .

Essayer de construire un triangle $A BC$ tel que $A C = 5$ cm, $A B = 2$ cm et $BC = 2, 5$ cm.
Que constate-t-on ? Pourquoi ?

Il est impossible de tracer ce triangle, tout simplement car l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée : $A C > CB + B A$ .