Triangles

Savoir que la somme des angles d’un triangle est égale à $180$ °.
Connaître les définitions de hauteur et de médiatrice. Savoir en tracer.
Connaître l’inégalité triangulaire et savoir l’utiliser.

Rappels

Définitions

Parmi les triangles ci-dessous, entourer :

en rouge le triangle rectangle ;
en bleu le triangle isocèle ;
en vert le triangle équilatéral ;
en noir le triangle quelconque.

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Construction

Propriété

On peut construire un triangle si et seulement si :

on connaît les longueurs des trois côtés du triangle ;
on connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle formé par ces deux côtés ;
on connaît la mesure de deux angles et la longueur du côté commun à ces deux angles.

On peut utiliser la règle et le compas dans le cas [cas-1] et la règle et le rapporteur dans les cas [cas-2] et [cas-3].

Construire le triangle $X M L$ tel que $X M = 4$ cm, $M L = 3$ cm et $L X = 2$ cm.

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Construire le triangle $W E B$ tel que $W E = 4$ cm, $W B = 3, 5$ cm et $E W B = 40$ °.

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Construire le triangle $U R L$ tel que $U R = 5$ cm, $R U L = 25$ ° et $L R U = 34$ °.

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Droites d’un triangle

Hauteurs

Définition

Soit $A B C$ un triangle. La hauteur du triangle $A B C$ issue de $A$ est la droite passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $(B C)$ .

Dans les deux triangles $A B C$ ci-dessous, avec l’équerre, tracer la hauteur du triangle $A B C$ issue de $A$ . Appeler $(h)$ cette hauteur et $I$ le point d’intersection entre $(h)$ et $(B C)$ .

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Propriété

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé l’orthocentre.

Médiatrices

Définition

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à celui-ci qui passe par son milieu.

Propriété

Les trois médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un point : il s’agit du centre du cercle circonscrit au triangle. Celui-ci passe par tous les sommets du triangle.

Tracer les trois médiatrices du triangle $L A C$ ci-dessous. Puis, tracer le cercle circonscrit à $L A C$ .

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Médianes

Définition

Soit $A B C$ un triangle. La médiane du triangle $A B C$ issue de $A$ est la droite passant par le point $A$ et par le milieu du côté $[B C]$ .

Dans le triangles $L O U$ ci-dessous, appeler $M$ le milieu du côté $[O U]$ . Puis, tracer la médiane issue de $L$ .

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Propriété

Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet sépare le triangle en deux triangles d’aires égales.

Dans le triangle de l’exercice ci-dessus, les triangles $L M U$ et $L M O$ ont la même aire. En effet, leur base $L M$ est commune et leur hauteur issue de $L$ est la même.

Propriétés

Somme des angles

Propriété

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est de $180$ °.

Corollaires

Les angles d’un triangle équilatéral mesurent $60$ °.
Les angles de la base d’un triangle isocèle ont la même mesure.
La somme des angles aigus d’un triangle rectangle vaut $90$ °.

Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$ tel que $B A C = 40$ °. Montrer que $A C B = C B A = 70$ °.

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est de $180$ °. Donc : $A C B + C B A + B A C A C B + C B A = 180° = 180° - B A C = 180° - 40° = 140°$ Or, dans un triangle isocèle, les angles de la base d’un triangle isocèle ont la même mesure. Donc $A C B = C B A$ . En réinjectant cela dans l’équation du dessus : $2 A C B A C B = 140° = 70°$ On a bien $A C B = C B A = 70$ °.

Inégalité triangulaire

Propriété

Soit $A B C$ un triangle. Alors $A C \leq C B + B A$ . De plus, $A C = C B + B A$ si et seulement si $B \in [A C]$ .

Essayer de construire un triangle $A B C$ tel que $A C = 5$ cm, $A B = 2$ cm et $B C = 2, 5$ cm.
Que constate-t-on ? Pourquoi ?

Il est impossible de tracer ce triangle, tout simplement car l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée : $A C > C B + B A$ .