Fonction dérivée

Connaître la notion de fonction dérivée.
Connaître les formules pour dériver les fonctions puissances ainsi que les sommes et les produits de fonctions puissances par un nombre.
Savoir calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
Connaître le lien entre la dérivée d’une fonction et son sens de variation.
Déterminer le sens de variation et les extremums d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à $3$ .

Dérivée d’une fonction

Nombre dérivé, fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

Soit $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le nombre $f^{'} (a)$ existe.
On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f^{'} (a)$ existe quelque soit $a \in I$ .

Dans ce dernier cas, on appelle $f^{'}$ la fonction qui a tout $x \in I$ associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ : c’est la fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ .

Remarque

Si $f$ est une fonction dérivable en $a \in R$ , $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$ (lorsqu’elle existe). C’est par conséquent la limite du taux de variation $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ lorsque $b$ tend vers $a$ .

En faisant le changement de variable $b = a + h$ , on obtient que $f^{'} (a)$ est la limite du taux de variation $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0$ .

Soit $f$ la fonction constante égale à $3$ . Soit $h \in R$ .

Calculer $\frac{f ( 0 + h ) - f ( 0 )}{h}$ .
1. Pour $h = 1$ :
2. Pour $h = 0, 1$ :
3. Pour $h = 0, 01$ :
Conjecturer la valeur de $f^{'} (0)$ .
Conjecturer la valeur de $f^{'} (x)$ pour tout $x \in R$ .

1. $\frac{3 - 3}{1} = 0$
2. $\frac{3 - 3}{0 , 1} = 0$
3. $\frac{3 - 3}{0 , 01} = 0$
Il semble que $f^{'} (0) = 0$ .
Comme $f$ est constante, $f (x) = f (0)$ pour tout $x \in R$ . Par conséquent, il semble que $f^{'} (x) = f^{'} (0) = 0$ pour tout $x \in R$ .

Dérivées usuelles

Propriété

Soit $n \in N$ . Alors, $x \mapsto x^{n}$ est définie et dérivable sur $R$ et sa dérivée est $x \mapsto n x^{n - 1}$ . En particulier, on a les formules suivantes.

Fonction	Dérivée
$x \mapsto 1$	$x \mapsto 0$
$x \mapsto x$	$x \mapsto 1$
$x \mapsto x^{2}$	$x \mapsto 2 x$
$x \mapsto x^{3}$	$x \mapsto 3 x^{2}$

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

$x \mapsto x^{4}$ :
$x \mapsto x^{7}$ :
$x \mapsto x^{101}$ :

$x \mapsto 4 x^{3}$
$x \mapsto 7 x^{6}$ :
$x \mapsto 101 x^{100}$ :

Opérations sur les dérivées

Propriété

Toutes les fonctions polynômiales sont définies et dérivables sur $R$ .
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$ . Soit $λ \in R$ .

Fonction Dérivée

$u + v$ $u^{'} + v^{'}$

$λ u$ $λ u^{'}$

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$
$λ u$	$λ u^{'}$

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

$f : x \mapsto x^{3} + x$ :
$g : x \mapsto 7 x^{2}$ :
$h : x \mapsto \frac{2}{3} x^{3} - 4 x$ :
$i : x \mapsto 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 5$ :

Soit $x \in R$ .

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ .
$g^{'} (x) = 14 x$ .
$h^{'} (x) = 3 \times \frac{2}{3} x^{2} - 4 = 2 x^{2} - 4$ .
$i^{'} (x) = 3 \times 4 x^{2} - 2 x + 3 = 12 x^{2} - 2 x + 3$ .

Études de fonctions

Lien entre dérivée et variations d’une fonction

Théorème

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ . On a les relations suivantes.

Signe de la dérivée	Variation de la fonction
$f^{'} (x) > 0$	$f$ est strictement croissante
$f^{'} (x) \geq 0$	$f$ est croissante
$f^{'} (x) < 0$	$f$ est strictement décroissante
$f^{'} (x) \leq 0$	$f$ est décroissante
$f^{'} (x) = 0$	$f$ est constante

La fonction $f$ du premier exercice est constante et de dérivée nulle.

On considère la fonction $f : x \mapsto x^{3} + 4, 5 x^{2} - 12 x + 0, 5$ , définie et dérivable sur $[- 5; 4]$ .

Montrer que $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 4)$ pour tout $x \in [- 5; 4]$ .
Étudier les variations de $f$ sur $[- 5; 4]$ .

Commençons par calculer la dérivée de $f$ . $f$ est dérivable sur $[- 5; 4]$ et pour tout $x \in [- 5; 4]$ , on a : $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 \times 4, 5 x - 12 = 3 x^{2} + 9 x - 12$ Ainsi, $f^{'}$ est une fonction du second degré : on peut la factoriser sous la forme $f^{'} (x) = 3 (x - x_{1}) (x - x_{2})$ où $x_{1}$ et $x_{2}$ désignent ses racines. Or :
- $f^{'} (1) = 3 + 9 - 12 = 0$ .
- $f^{'} (- 4) = 3 \times 16 - 36 - 12 = 0$ .
Donc $x_{1} = 1$ et $x_{2} = - 4$ . On retrouve bien la formule souhaitée : $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 4)$
Il s’agit dans un premier temps de déterminer le signe de $3 (x - 1) (x + 4)$ . On a :
- $3 \geq 0$ .
- $x - 1 \geq 0 ⟺ x \geq 1$ .
- $x + 4 \geq 0 ⟺ x \geq - 4$ .
D’où le tableau de signes suivant.

On en déduit les variations de $f$ .

où :
- $f (- 5) = 48$ ;
- $f (- 4) = 56, 5$ ;
- $f (1) = - 6$ ;
- $f (4) = 88, 5$ .

Extrema

Propriété

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ . Soit $c \in I$ . Si $f^{'} (c) = 0$ et si $f^{'}$ change de signe de part et d’autre de $c$ , alors $f (c)$ est un extremum (local) de $f$ . On a deux situation possibles :

tikzpicture-3

tikzpicture-4

On considère la fonction $f : x \mapsto \frac{1}{3} x^{3} - 16 x$ , définie et dérivable sur $[- 6; 6]$ .

Étudier les variations de $f$ sur $[- 6; 6]$ .
En déduire les extrema de $f$ sur $[- 6; 6]$ .

Commençons par calculer la dérivée de $f$ . $f$ est dérivable sur $[- 6; 6]$ et pour tout $x \in [- 6; 6]$ , on a : $f^{'} (x) = 3 \times \frac{1}{3} x^{2} - 16 = x^{2} - 16$ Ainsi, $f^{'}$ est une fonction du second degré. On reconnaît une identité remarquable. On peut factoriser $f^{'} (x)$ : $f^{'} (x) = (x - 4) (x + 4)$ On a :
- $x - 4 \geq 0 ⟺ x \geq 4$ .
- $x + 4 \geq 0 ⟺ x \geq - 4$ .
D’où le tableau de signes suivant.

On en déduit les variations de $f$ .

où :
- $f (- 6) = 31$ ;
- $f (- 4) = \frac{149}{3}$ ;
- $f (4) = - \frac{107}{3}$ ;
- $f (6) = - 17$ .
Sur $[- 6; 6]$ , le maximum de $f$ est atteint en $- 4$ et vaut $\frac{149}{3}$ et son minimum est atteint en $4$ et vaut $- \frac{107}{3}$ .