Fonctions polynômiales du second degré

Être en mesure de vérifier qu’une valeur conjecturée est racine d’un polynôme de degré $2$ .
Savoir factoriser, dans des cas simples, une expression du second degré.
Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré $2$ ou $3$ pour trouver ses racines et étudier son signe.
Déterminer des éléments caractéristiques de la fonction $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ (signe, extremum, allure de la courbe, axe de symétrie…).
Savoir associer une parabole à une expression algébrique de degré $2$ , pour les fonctions de la forme $x \mapsto a x^{2}$ , $x \mapsto a x^{2} + c$ et $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Définitions

Fonction du second degré

Définition

On appelle fonction polynômiale du second degré (ou fonction du second degré pour abréger) toute fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = a x^{2} + b x + c$ où $a, b, c \in R$ avec $a \neq = 0$ .

L’expression littérale $a x^{2} + b x + c$ est un polynôme de degré $2$ .

La fonction carré $x \mapsto x^{2}$ est une fonction du second degré.

Racines

Définition

Soit $f$ une fonction du second degré. On appelle racine de $f$ , tout nombre $x$ vérifiant $f (x) = 0$ . Une fonction du second degré admet au plus deux racines distinctes dans $R$ .

Combien de racines la fonction $f : x \mapsto x^{2} + 1$ possède-t-elle dans $R$ ?

Pour tout $x \in R$ , $f (x) \geq 1$ ... Donc la fonction $f$ n’admet pas de racine dans $R$ !

Forme développée, forme factorisée

Définition

Soit $f : x \mapsto a x^{2} + b x + c$ une fonction du second degré.

La forme $f (x) = a x^{2} + b x + c$ est appelée forme développée de $f$ .
Si $f$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ , alors on peut écrire $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Cette dernière expression est appelée forme factorisée de $f$ .

On définit une fonction $f$ sur $R$ par $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ . C’est une fonction du second degré (avec $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 1$ ). Comme $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ , on a :

La forme factorisée de $f$ : $f (x) = (x + 1)^{2} = (x + 1) (x + 1)$ .
La forme développée de $f$ : $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

On définit une fonction $f$ du second degré sur $R$ par $f (x) = x^{2} - 4$ .

Factoriser $f (x)$ .
Quelles sont les racines de $f$ ?
En déduire formes développées et factorisées de $f$ .
1. Forme factorisée de $f$ :
2. Forme développée de $f$ :

Pour tout $x \in R$ , $f (x) = x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
On a $f (2) = f (- 2) = 0$ : les racines de $f$ sont $- 2$ et $2$ .
1. La forme factorisée de $f$ est $f (x) = (x - 2) (x + 2)$ .
2. La forme développée de $f$ est $f (x) = x^{2} - 4$ .

Courbe représentative

Orientation de la parabole

Définition

Soit $f : x \mapsto a x^{2} + b x + c$ une fonction du second degré. La courbe représentative de $f$ , notée $C_{f}$ , est une parabole.

Lorsque $a > 0$ , on dit que la parabole $C_{f}$ est tournée vers le haut : elle forme un sourire.
Lorsque $a < 0$ , on dit que la parabole $C_{f}$ est tournée vers le bas : elle forme un sourire inversé.

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Pour chacune des fonctions du second degré ci-dessous, donner l’orientation de sa courbe représentative.

$f : x \mapsto 3 x^{2} + 2 x + 1$ :
$g : x \mapsto 1 - x^{2}$ :
$h : x \mapsto (1 - x)^{2}$ :

Tournée vers le haut.
Tournée vers le bas.
Tournée vers le haut. En effet, pour tout $x \in R$ , $h (x) = (1 - x)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ .

Sommet, axe de symétrie

Propriété

Soit $f : x \mapsto a x^{2} + b x + c$ une fonction du second degré.

Le sommet de la parabole $C_{f}$ a pour coordonnées $(α; β)$ où $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β = f (α)$ .
La parabole $C_{f}$ admet un axe de symétrie vertical d’équation $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Après avoir esquissé la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto 4 x^{2} + 8 x + 1$ , déterminer le tableau de variation de $f$ .

tikzpicture-2

Fonctions $x \mapsto a x^{2} + c$

Propriété

Soit $f : x \mapsto a x^{2} + c$ une fonction du second degré (notons que le coefficient $b$ est nul).

Propriété	Illustration
L’axe de symétrie de $f$ est la droite d’équation $x = 0$ . Plus $a$ est proche de zéro, plus la courbe s’écarte. À l’inverse, plus le coefficient $a$ s’éloigne de zéro, plus la courbe se contracte.
La courbe représentative de $x \mapsto a x^{2}$ est symétrique à celle de $x \mapsto - a x^{2}$ par rapport à l’axe des abscisses.
La courbe représentative de $f$ est la même que celle de $x \mapsto a x^{2}$ , mais translatée de $c$ unités de longueur vers le haut.

On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction carré $x \mapsto x^{2}$ . Tracer à main levée l’allure de la courbe représentative de la fonction $x \mapsto - 3 x^{2} - 0, 5$ . Décrire les différentes étapes.

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On écarte la courbe représentative de la fonction carré :
On la translate de deux unités vers le haut :
Et on en fait la symétrie :

Lien avec les racines

Propriété

Soit $f : x \mapsto a x^{2} + b x + c$ une fonction du second degré. Alors, $f$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ si et seulement si $C_{f}$ admet deux points d’intersection avec l’axe des abscisses.

Dans ce cas, les coordonnées de ces points d’intersection sont $(x_{1}; 0)$ et $(x_{2}; 0)$ . De plus, l’axe de symétrie vertical de $f$ a pour équation $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

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On définit une fonction $f$ du second degré sur $R$ par $f (x) = 3 x^{2} - 9 x - 30$ .

Vérifier que $- 2$ et $5$ sont les racines de $f$ .
En déduire la forme factorisée de $f$ .
Donner les tableaux de signes et de variation de $f$ .

On a $f (- 2) = f (5) = 0$ .
On peut factoriser $f (x)$ à l’aide de la question précédente : $f (x) = 3 (x - 5) (x + 2)$
On a :

Et, en calculant, on a $\frac{- 2 + 5}{2} = \frac{3}{2}$ et $f (\frac{3}{2}) = - \frac{147}{4}$ :