Fonctions polynômiales du troisième degré

Être en mesure de vérifier qu’une valeur conjecturée est racine d’un polynôme de degré $3$ .
Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré $3$ pour trouver ses racines et étudier son signe.
Savoir résoudre des équations de la forme $x^{3} = c$ avec $c$ positif.

Racine cubique

Rappels

Définition

La fonction cube est la fonction définie sur $R$ par $x \mapsto x^{3}$ .

Effectuer les calculs suivants.

$2^{3} =$
$- 2^{3} =$
$(- 3)^{3} =$
$5^{3} =$

$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$- 2^{3} = - 2 \times 2 \times 2 = - 8$
$(- 3)^{3} = (- 3) \times (- 3) \times (- 3) = - 27$
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$

Propriété

La fonction cube est une fonction impaire.
Tout nombre réel $a$ admet un unique antécédent par la fonction cube : il s’agit de sa racine cubique, que l’on note $3 a$ .

Effectuer les calculs de racines cubiques suivants.

$3125 =$
$3 - 8 =$
$3 - 1 =$
$327 =$

$3125 = 5$
$3 - 8 = - 2$
$3 - 1 = - 1$
$327 = 3$

Équations $x^{3} = c$

Propriété

On considère un nombre réel $c$ positif. Alors, l’équation $x^{3} = c$ admet une unique solution, qui est $3 c$ .

Résoudre l’équation $x^{3} + x - 2 = x$ .

On a $x^{3} + x - 2 = x ⟺ x^{3} - 2 = 0 ⟺ x^{3} = 2$ qui admet une unique solution : $32$ . Donc l’ensemble solution est $S = {32}$ .

Définitions

Fonction du troisième degré

Définition

On appelle fonction polynômiale du troisième degré (ou fonction du troisième degré pour abréger) toute fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ où $a, b, c, d \in R$ avec $a \neq = 0$ .

L’expression littérale $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ est un polynôme de degré $3$ .

La fonction cube $x \mapsto x^{3}$ est une fonction du troisième degré.

Racines

Définition

Soit $f$ une fonction du troisième degré. On appelle racine de $f$ , tout nombre $x$ vérifiant $f (x) = 0$ . Une fonction du troisième degré admet au plus troisième racines distinctes dans $R$ .

Combien de racines distinctes la fonction $f : x \mapsto x^{3} - 1$ possède-t-elle dans $R$ ?

On a $f (x) = 0 ⟺ x^{3} = 1$ . Cette équation admet une unique solution : $31 = 1$ . Donc, $f$ n’admet qu’une racine.

Forme développée, forme factorisée

Définition

Soit $f : x \mapsto a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ une fonction du troisième degré.

La forme $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ est appelée forme développée de $f$ .
Si $f$ admet trois racines $x_{1}$ , $x_{2}$ et $x_{3}$ , alors on peut écrire $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ . Cette dernière expression est appelée forme factorisée de $f$ .

On définit une fonction $f$ sur $R$ par $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ . C’est une fonction du second degré (avec $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = 11$ et $d = - 6$ ). Comme $f (1) = f (2) = f (3) = 0$ , on a :

La forme factorisée de $f$ : $f (x) = (x - 3) (x - 2) (x - 1)$ .
La forme développée de $f$ : $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ .

Déterminer la forme développée de la fonction du troisième degré $f : x \mapsto (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
Admet-elle une forme factorisée ?

Pour tout $x \in R$ , $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1 = x^{3} - 1$
On note $g$ la fonction définie pour tout $x \in R$ par $g (x) = x^{2} + x + 1$ . Alors, la fonction du second degré $g$ admet pour minimum le point de coordonnées $(α; β)$ avec $α = - 0, 5$ et $β = f (α) = 1, 75$ . Ainsi $g (x) > 0$ sur $R$ : $g$ est une fonction du second degré qui n’admet pas de racine, et qui n’est donc pas factorisable. Donc $f$ non plus.

Courbe représentative

Fonctions $x \mapsto a x^{3} + d$

Propriété

Soit $f : x \mapsto a x^{3} + d$ une fonction du troisième degré (notons que les coefficients $b$ et $c$ sont nuls).

Propriété	Illustration
Le centre de symétrie de $f$ est le point de coordonnées $(0; d)$ . Plus $a$ est proche de zéro, plus la courbe s’écarte. À l’inverse, plus le coefficient $a$ s’éloigne de zéro, plus la courbe se contracte.
La courbe représentative de $x \mapsto a x^{3}$ est symétrique à celle de $x \mapsto - a x^{3}$ par rapport à l’axe des abscisses.
La courbe représentative de $f$ est la même que celle de $x \mapsto a x^{3}$ , mais translatée de $d$ unités de longueur vers le haut.

On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction cube $x \mapsto x^{3}$ . Tracer à main levée l’allure de la courbe représentative de la fonction $x \mapsto - 3 x^{3} + 0, 5$ . Décrire les différentes étapes.

tikzpicture-4

On contracte la courbe représentative de la fonction cube :
On la translate d’une demi unité vers le bas :
Et on en fait la symétrie :

Lien avec les racines

Propriété

Soit $f : x \mapsto a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ une fonction du troisième degré. Alors, $f$ admet trois racines $x_{1}$ , $x_{2}$ et $x_{3}$ si et seulement si $C_{f}$ admet trois points d’intersection avec l’axe des abscisses.

Dans ce cas, les coordonnées de ces points d’intersection sont $(x_{1}; 0)$ , $(x_{2}; 0)$ et $(x_{3}; 0)$ .

tikzpicture-8

On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto x^{3} - 1, 5 x^{2} - 1, 5 x + 1$ . Déterminer sa forme factorisée.

tikzpicture-9

D’après le graphique, $f$ admet trois racines : $- 1$ , $0, 5$ et $2$ . Donc, pour tout $x \in R$ , la forme factorisée de $f$ est $f (x) = (x + 1) (x - 0, 5) (x - 2)$ .