Nombre dérivé

Découvrir les sécantes à une courbe passant par un point donné, et faire le lien avec le taux de variation en un point.
Définir la tangente à une courbe en un point en tant que position limite des sécantes passant par ce point.
Découvrir la notion de nombre dérivé en un point, défini comme limite du taux de variation en ce point.
Connaître la formule de l’équation réduite de la tangente d’une fonction en un point.

Tangentes

Sécante à une courbe

Définition

Soit $f$ une fonction dont on note $C_{f}$ la courbe représentative. On appelle sécante à $C_{f}$ toute droite passant par deux points distincts $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ de $C_{f}$ .

Pour rappel, le coefficient directeur de cette sécante est donné par la formule $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{f ( x _{B} ) - f ( x _{A} )}{x _{B} - x _{A}}$

tikzpicture-1

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soient $a, b \in I$ distincts. On appelle taux de variation ou taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ , le quotient $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ c’est aussi le coefficient directeur de la sécante à $C_{f}$ aux points de coordonnées $(a; f (a))$ et $(b; f (b))$ .

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{3} - 4$ .

Calculer les images par $f$ de $- 1$ et $2$ .
Calculer le taux de variation de $f$ entre ces deux valeurs.

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 4 = - 5$ et $f (2) = 2^{3} - 4 = 4$ .
Le taux de variation de $f$ entre $- 1$ et $2$ est de $\frac{4 - ( - 5 )}{2 - ( - 1 )} = \frac{9}{3} = 3$

Tangente en un point

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle et suffisamment régulière et soient deux points $A$ et $B$ situés sur la courbe $C_{f}$ . Quand $B$ se rapproche de $A$ , la sécante $(A B)$ semble se rapprocher d’une droite limite collée à $C_{f}$ .

Cette droite s’appelle la tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A$ . Elle est unique : on ne peut pas tracer deux tangentes différentes à une courbe en un même point.

tikzpicture-2

On a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ ci-contre ainsi que sa tangente au point d’abscisse $1$ .

Déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de cette tangente.
Quelle est son équation réduite ?

tikzpicture-3

L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de la tangente avec l’axe des ordonnées ; $2$ en l’occurrence. Quant au coefficient directeur, on peut le déterminer avec la formule $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ où $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ sont deux points distincts situés sur cette droite. Avec $A (0; 2)$ et $B (2; 0)$ , on obtient un coefficient directeur égal à $\frac{0 - 2}{2 - 0} = - 1$
L’équation réduite de cette droite est donc $y = (- 1) \times x + 2 = - x + 2$ .

Nombre dérivé

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a \in I$ . On note $T_{a}$ la tangente à $C_{f}$ au point de coordonnées $(a; f (a))$ lorsqu’elle existe.

On appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ le coefficient directeur de $T_{a}$ . On le note $f^{'} (a)$ .

Soit $f$ la fonction de l’exercice précédent. Déterminer $f^{'} (1)$ .

$f^{'} (1)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à $C_{f}$ au point d’abscisse $1$ . Donc, $f^{'} (1) = - 1$ .

Propriété

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a \in I$ . Alors, une équation de la tangente au point $(a; f (a))$ est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Soit $f$ une fonction définie sur $R$ que l’on représente ci-contre. On a tracé sa tangente $T$ au point d’abscisse $0$ .

Déterminer graphiquement $f (0)$ .
Déterminer graphiquement $f^{'} (0)$ .
En déduire l’équation réduite de $T$ .
En déduire une valeur approchée de $f (0, 1)$ .

tikzpicture-4

Par lecture graphique, $f (0) = 2$ .
Par lecture graphique, $f^{'} (0) = \frac{3 , 25 - 2}{- 1 - 0} = - 1, 25$
L’ordonnée à l’origine de $T$ vaut $2$ par lecture graphique. Donc, toujours par lecture graphique, l’équation réduite de $T$ est $y = (- 1, 25) (x - 0) + 2 = - 1, 25 x + 2$
La tangente $T$ épouse la courbe de $f$ en $0$ . Donc, $f (0, 1) \approx - 1, 25 \times 0, 1 + 2 = 1, 875$

Interprétation

Propriété

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soient $a, b \in I$ . Alors :

le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ correspond à la vitesse moyenne de croissance de $f$ entre $a$ et $b$ ;
$f^{'} (a)$ correspond à la vitesse instantanée de le croissance de $f$ en $a$ .

Sur le graphique ci-dessous, on observe la distance $d$ parcourue en mètres par un sprinteur en fonction du temps en secondes.

tikzpicture-5

Calculer approximativement la vitesse moyenne du coureur entre $1$ sec et $3$ sec.
Estimer graphiquement la vitesse instantanée du coureur à $5$ sec.

On calcule : $\frac{d ( 3 ) - d ( 1 )}{3 - 1} \approx 7, 5$ La vitesse moyenne du coureur entre $1$ sec et $3$ sec est d’environ $7, 5$ m/sec.
La vitesse instantanée du coureur à $5$ sec est égale à $d^{'} (5)$ . Or, la courbe représentative de $d$ semble être une droite à partir de $3$ . On calcule son coefficient directeur : $\frac{d ( 3 ) - d ( 7 )}{3 - 7} \approx 12, 5$ La vitesse instantanée du coureur à $5$ sec est d’environ $12, 5$ m/sec.