Suites numériques

Modéliser une situation à l’aide d’une suite.
Calculer un terme de rang donné d’une suite définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite.
Savoir étudier une suite (mode de génération, sens de variation, représentation graphique).

Définitions

Définition

Une suite est une fonction $u$ définie sur $N$ (ou sur un sous-ensemble de $N$ ), qui, à tout entier $n$ , associe $u (n)$ , que l’on note généralement $u_{n}$ . La suite est alors notée $(u_{n})$ et $u_{n}$ désigne son $n$ -ième terme.

La suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \geq 6$ par $u_{n} = \frac{1}{n - 5}$ a pour premier terme $u_{6} = \frac{1}{6 - 5} = 1$ .

Modes de génération

Expression explicite

Définition

On dit qu’une suite $(u_{n})$ est définie explicitement si, pour tout entier $n$ , $u_{n}$ peut être calculé directement en fonction de $n$ sans que l’on ait besoin de calculer tous les termes précédents.

Calculer les cinq premiers termes de la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $u_{n} = 2 n$ .

$u_{0} =$ .
$u_{1} =$ .
$u_{2} =$ .
$u_{3} =$ .
$u_{4} =$ .

$u_{0} = 2 \times 0 = 0$ .
$u_{1} = 2 \times 1 = 2$ .
$u_{2} = 2 \times 2 = 4$ .
$u_{3} = 2 \times 3 = 6$ .
$u_{4} = 2 \times 4 = 8$ .

Relation de récurrence

Définition

Définir une suite par récurrence revient à donner son premier terme puis une relation permettant de calculer le terme suivant à partir du précédent.

Calculer les cinq premiers termes de la suite $(v_{n})$ définie par $v_{0} = 0$ et tout $n \in N$ par $v_{n + 1} = v_{n} + 2$ .
1. $v_{0} =$ .
2. $v_{1} =$ .
3. $v_{2} =$ .
4. $v_{3} =$ .
5. $v_{4} =$ .
Que pourrait-on conjecturer à propos de la suite $(v_{n})$ et de la suite $(u_{n})$ de l’exercice précédent ?

$v_{0} = 0$ .
$v_{1} = 0 + 2 = 2$ .
$v_{2} = 2 + 2 = 4$ .
$v_{3} = 4 + 2 = 6$ .
$v_{4} = 6 + 2 = 8$ .

Représentation graphique

Méthode

On peut représenter une suite $(u_{n})$ dans un repère en plaçant les points $(n; u_{n})$ pour tout entier $n \in N$ . À l’inverse des fonctions, pas besoin de relier les points.

Représenter ci-dessous les premiers termes de la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \in N^{*}$ par $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ .

tikzpicture-1

tikzpicture-2

Sens de variation

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite numérique. $(u_{n})$ est dite :

croissante si, pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} \geq u_{n}$ ;
décroissante si, pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} \leq u_{n}$ ;
constante si, pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} = u_{n}$ ;
monotone si, $(u_{n})$ est croissante ou décroissante.

Représenter ci-dessous les premiers termes de la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et pour tout $n \in N^{*}$ par $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n}$ .
Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .

tikzpicture-3

La suite $(u_{n})$ semble décroissante.

Méthode

Soit $(u_{n})$ une suite numérique. Alors :

Si pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ ou si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \geq 1$ (pour $u_{n} > 0$ ), alors $(u_{n})$ est croissante.
Si pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} \leq 0$ ou si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \leq 1$ (pour $u_{n} > 0$ ), alors $(u_{n})$ est décroissante.

Étudier les variations de la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par :

$u_{n} = n^{2} + n$ .
$u_{n} = \frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}}$ .

Soit $n \in N$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} + (n + 1) - (n^{2} + n) = n^{2} + 2 n + 1 + n + 1 - n^{2} - n = 2 n + 2$ Or, $n \geq 0$ . Donc, $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ : la suite est croissante.
Soit $n \in N$ . $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{\frac{2 ^{n + 1}}{5 ^{n + 2}}}{\frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}}} = \frac{2 ^{n + 1}}{5 ^{n + 2}} \times \frac{1}{\frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}}} = \frac{2 ^{n + 1}}{5 ^{n + 2}} \times \frac{5 ^{n + 1}}{2 ^{n}} = \frac{2}{5} \times \frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}} \times \frac{5 ^{n + 1}}{2 ^{n}} = \frac{2}{5} < 1$ Donc la suite est décroissante.