Variables aléatoires

Interpréter en situation les écritures ${X = a}$ , ${X \leq a}$ où $X$ désigne une variable aléatoire et calculer les probabilités correspondantes $P (X = a)$ , $P (X \leq a)$ .
Calculer et interpréter en contexte l’espérance d’une variable aléatoire discrète.

Généralités

Définition

On considère une expérience aléatoire d’univers $Ω$ .

Définir une variable aléatoire sur $Ω$ , c’est associer un nombre réel à chaque issue de $Ω$ . On note souvent une variable aléatoire $X$ ou $Y$ .
Pour tout $a \in R$ , on note ${X = a}$ l’événement X prend la valeur $a$ (et on peut définir de même ${X < a}$ , ${X \leq a}$ , …) et $P (X = a)$ sa probabilité.

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Si on obtient Pile, on gagne $1$ €, sinon on gagne $2$ €. On définit la variable aléatoire $X$ qui, à l’issue du jeu, associe la somme gagnée par le joueur.

Interpréter ${X = 2}$ par une phrase.
Calculer $P (X = 2)$ .

${X = 2}$ est l’événement Le joueur gagne $2$ € à l’issue du jeu.
$P (X = 3)$ est la probabilité de faire Pile puis Pile, soit $P (X = 2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Loi de probabilité

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire sur $Ω$ prenant les valeurs $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ . Lorsqu’à chaque valeur $x_{i}$ , on associe la probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ , on définit la loi de probabilité de $X$ .

On reprend le jeu de l’exercice précédent. Représenter la situation dans un arbre, et surpasser en vert les issues favorables à l’événement ${X = 3}$ .

Soient $P_{i}$ l’événement le joueur tombe sur Pile au $i$ -ième lancer et $F_{i}$ l’événement le joueur tombe sur Face au $i$ -ième lancer.

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Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains devant peser normalement $500$ g. On a comptabilisé le poids des pains au cours d’une journée de production. Ils pesaient :

$480$ g dans $8$ % des cas ;
$490$ g dans $29$ % des cas ;
$500$ g dans $41$ % des cas ;
$510$ g dans $12$ % des cas ;
$520$ g dans les autres cas.

On note $X$ la variable aléatoire donnant les masses possibles des pains en gramme.

Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ .

$x_{i}$ $480$ $490$ $500$ $510$ $520$

$p_{i} = P (X = x_{i})$
1. Quelle est la probabilité qu’un pain pèse au moins $500$ g ?
2. Seuls les pains pesant au moins 490 g vont être commercialisé. Quelle est la probabilité qu’un pain soit commercialisé ?

$x_{i}$ $480$ $490$ $500$ $510$ $520$

$p_{i} = P (X = x_{i})$ $0, 08$ $0, 29$ $0, 41$ $0, 12$ $0, 1$
1. $P (X \geq 500) = 0, 41 + 0, 12 + 0, 1 = 0, 63$ .
2. $P (X \geq 490) = 1 - P (X < 490) = 1 - 0, 08 = 0, 92$ .

$x_{i}$	$480$	$490$	$500$	$510$	$520$
$p_{i} = P (X = x_{i})$	$0, 08$	$0, 29$	$0, 41$	$0, 12$	$0, 1$

Espérance

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire sur $Ω$ prenant les valeurs $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ . L’espérance de $X$ , notée $E (X)$ , est $E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots x_{n} p_{n}$ Cela correspond à la moyenne de la variable aléatoire que l’on peut espérer lorsque l’on répète l’expérience un grand nombre de fois.

Dans un casino, il y a une machine à sous qui fonctionne à l’aide d’un lancer de pièce. Si le joueur lance la pièce et tombe sur Pile, il gagne $10$ € mais si la pièce tombe sur Face, il perd $3$ €. La partie coûte $2$ €. Cependant, la pièce est truquée et celle-ci a trois chances sur quatre de tomber sur Face. Les lancers de pièce sont supposés indépendants.

Un joueur joue trois fois à ce jeu. On note $X$ la variable aléatoire qui modélise le gain à l’issue des parties.

Représenter la succession d’expériences aléatoires sous la forme d’un arbre de probabilités.
Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d’un tableau.
Quelle somme peut-il espérer gagner en moyenne ?

Soient $P_{i}$ l’événement le joueur tombe sur Pile au $i$ -ième lancer et $F_{i}$ l’événement le joueur tombe sur Face au $i$ -ième lancer.
À noter que la partie coûte $1$ €, et le joueur joue trois fois, donc il faut retirer $3$ € aux gains.

$x_{i}$ $- 12$ $1$ $14$ $27$

$p_{i} = P (X = x_{i})$ $\frac{27}{64}$ $\frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} = \frac{27}{64}$ $\frac{3}{64} + \frac{3}{64} + \frac{3}{64} = \frac{9}{64}$ $\frac{1}{64}$
$E (X) = - 12 \times \frac{27}{64} + 1 \times \frac{27}{64} + 14 \times \frac{9}{64} + 27 \times \frac{1}{64} = - 2, 25$ En moyenne, le joueur perd $2, 25$ €.