Équations

Connaître les notions d’inconnue, d’équation.
Résoudre algébriquement des équations du premier degré ou s’y ramenant.

Définitions

Définition

Une équation est une égalité qui comporte au moins un nombre de valeur inconnue, généralement désigné par une lettre.

Cette égalité peut être vraie pour certaines valeurs de l’inconnue et fausse pour d’autres.

$3 + x = 11$ est une équation d’inconnue $x$ .

Si $x = 8$ , l’égalité est vraie : $3 + 8 = 11$ .
Si $x = 3$ , l’égalité est fausse : $3 + 3 \neq = 11$ .

Définition

Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.

$8$ est une solution de l’équation $3 + x = 11$ car $3 + 8 = 11$ .

On considère l’équation $2 t + 3 = 5 t - 9$ .

$- 5$ est-il une solution de cette équation ?
$4$ est-il une solution de cette équation ?

Pour $t = - 5$ : $2 \times (- 5) + 3 = - 10 + 3 = - 7$ et $5 \times (- 5) - 9 = - 25 - 9 = - 34$ . L’égalité est fausse, donc $- 5$ n’est pas une solution.
Pour $t = 4$ : $2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$ et $5 \times 4 - 9 = 20 - 9 = 11$ . L’égalité est vraie, donc $4$ est une solution.

Résolution

Définition

Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Méthode

Pour résoudre une équation, on utilise les propriétés des égalités.

On peut ajouter ou soustraire un même nombre à chaque membre de l’égalité.
On peut multiplier ou diviser chaque membre de l’égalité par un même nombre non nul.

Il s’agit de transformer l’équation pour isoler l’inconnue d’un côté de l’égalité.

Résolvons l’équation $3 x + 5 = 20$ . $3 x + 5 3 x + 5 - 5 3 x \frac{3 x}{3} x = 20 = 20 - 5 = 15 = \frac{15}{3} = 5 (on soustrait 5 des deux c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} s) (on divise par 3 des deux c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} s)$ La solution de l’équation est $5$ .

Remarque

Il peut y avoir plusieurs solutions, une unique solution, ou pas de solution du tout à une équation donnée.

Résoudre les équations suivantes.

$x + 6 = - 10$ :
$2 = x - 7$ :
$3 x + 4 = 19$ :

Mise en équation

Définition

Mettre en équation un problème, c’est traduire une situation à l’aide d’une ou plusieurs équations.

En additionnant un nombre, son double et son triple, on trouve $459$ . Quel est ce nombre ?

On appelle $x$ le nombre recherché. Son double est $2 x$ et son triple est $3 x$ . En additionnant ces trois expressions, on obtient l’équation suivante : $x + 2 x + 3 x = 459$ En résolvant cette équation, on trouve que $x = 51$ . Le nombre recherché est donc $51$ .

Une batte et une balle coûtent ensemble $1, 10$ €. La batte coûte $1$ € de plus que la balle. Combien coûte la balle ?

On appelle $x$ le prix de la balle. Le prix de la batte est alors $x + 1$ . On peut traduire la situation par l’équation suivante : $x + (x + 1) = 1, 10$ En résolvant cette équation, on trouve que $x = 0, 05$ . La balle coûte donc $0, 05$ € (et la batte coûte $1, 05$ €).