Probabilités
Connaître le vocabulaire des probabilités, la notion de probabilité d’un événement.
Connaître la probabilité d’événements certains, impossibles, contraires.
Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples.
Calculer des probabilités dans des cas simples.
Exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).
Faire le lien entre fréquence et probabilité.
Vocabulaire
Expériences aléatoires
Définition
Une expérience aléatoire est une expérience dont les différents résultats possibles appelés issues sont connus mais dont on ne sait pas, a priori, lequel va se produire.
On dispose d’un dé à faces numérotées de à et on le lance. On note le numéro obtenu.
Justifier qu’il s’agit d’une expérience aléatoire.
Lister les différentes issues.
Il s’agit bien d’une expérience aléatoire car le résultat final (le numéro obtenu) dépend du hasard.
Obtenir
;Obtenir
;Obtenir
;Obtenir
;Obtenir
;Obtenir
.
Événements
Définitions
Un événement désigne un ensemble d’issues. Si le résultat de l’expérience aléatoire est une des issues de l’événement, on dit que l’événement est réalisé.
L’événement contraire d’un événement est celui qui se réalise lorsque n’est pas réalisé. On le note généralement .
On considère l’expérience aléatoire de l’exercice précédent et
l’événement Obtenir un nombre pair
.
Quelles issues réalisent cet événement ?
Les issues qui réalisent cet événement sont : Obtenir
, Obtenir
et
Obtenir
.
Probabilité d’un événement
Définition
Définition
La probabilité d’une issue est un nombre compris
entre et , qui peut
s’interpréter comme la proportion de chances
d’obtenir cette
issue.
On dit que les issues d’une expérience sont équiprobables si elles ont la même probabilité.
Propriétés
La somme des probabilités de toutes les issues est égale à .
Si une expérience aléatoire comporte issues équiprobables, la probabilité de chacune d’elles vaut .
Dans un sac se trouvent trois boules : une blanche, une bleue et une rouge. On en tire une au hasard.
Compléter le tableau ci-dessous en écrivant les issues possibles dans la première colonne et la probabilité correspondante dans la deuxième.
Issue Probabilité Tirer la boule blanche Tirer la boule bleue Tirer la boule rouge A-t-on une situation d’équiprobabilité ?
Que vaut la somme des probabilités de la deuxième colonne ?
Issue Probabilité Tirer la boule blanche Tirer la boule bleue Tirer la boule rouge Oui : chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
Elle vaut d’après la propriété précédente. Cela peut se vérifier facilement : .
Définition
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
Dans l’exercice précédent, quelle est la probabilité de l’événement
Tirer une boule colorée
?
On note l’événement Tirer une boule
colorée
. Alors :
Calcul
Propriétés
Soit un événement. On note la probabilité de .
Dans une expérience aléatoire où toutes les issues sont équiprobables, on a :
Il existe un lien entre la probabilité de et celle de son contraire :
Le jeu de cartes français est un jeu de cartes organisées en quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Il comporte cartes à jouer réparties en quatre familles de treize, plus deux jokers.
On dispose d’un tel jeu, et on tire au hasard une carte.
Quelle est la probabilité que cette carte soit un Roi ?
Quelle est la probabilité que cette carte ne soit pas un cœur ?
Dans un tel jeu de cartes, il y a quatre Rois. Donc, la probabilité de tirer un roi est de .
Les différentes couleurs trèfle, carreau, cœur et pique sont équitablement réparties à travers cartes du jeu (les moins les deux jokers). Donc, il y a cœurs.
Notons l’événement
Tirer un cœur
. Alors : D’où :