Théorème de Pythagore

Connaître le théorème de Pythagore.
Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs des deux autres côtés.

Vocabulaire

Définition

Dans un triangle rectangle, le côtés opposé à l’angle droit est le plus grand des trois côtés. On l’appelle hypoténuse du triangle.

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Les triangles ci-dessous sont rectangles. Pour chacun d’eux, indiquer l’angle droit ainsi que l’hypoténuse.

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Calculs dans un triangle rectangle

Égalité de Pythagore

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Autrement dit, dans un triangle $A BC$ rectangle en $A$ . On a $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$

Le triangle ci-dessous est rectangle. Écrire l’égalité de Pythagore associée.

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On a $M N^{2} = O M^{2} + N O^{2}$ .

Trois nombres vérifiant l’égalité de Pythagore ci-dessus sont appelés triplets pythagoriciens.

Calcul d’aires

Méthode

Dans un triangle rectangle, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. C’est une autre manière d’énoncer le théorème de Pythagore.

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Sur la figure ci-dessus, on retrouve l’égalité $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$ On peut donc utiliser ce théorème pour calculer des aires.

Calculer l’aire du troisième carré dans la figure ci-dessous

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Le triangle $T U V$ est rectangle en $T$ , donc d’après le théorème de Pythagore, $U V^{2} = V T^{2} + T U^{2}$ ce qui donne, en remplaçant : $20 cm² = 8 cm² + T U^{2}$ soit $T U^{2} = 12 cm²$ . Ainsi, l’aire du troisième carré vaut $12 cm²$ .

Calcul de longueurs

Définition

La racine carrée d’un nombre $a$ est le nombre (toujours positif) dont le carré est $a$ . On le note $a$ .

Les racines carrées suivantes sont à connaître : ce sont les (premiers) carrés parfaits.

$0 = 0$
$1 = 1$
$4 = 2$
$9 = 3$
$16 = 4$
$25 = 5$
$36 = 6$
$49 = 7$
$64 = 8$
$81 = 9$
$100 = 10$
$121 = 11$

À l’aide de la calculatrice, déterminer les racines carrées suivantes.

$6, 25 =$
$16, 81 =$
$2, 25 =$
$23 \approx$

$6, 25 = 2, 5$
$16, 81 = 4, 1$
$2, 25 = 1, 5$
$23 = 4, 8$

Méthode

Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore et la racine carrée.

Le triangle $A BC$ ci-contre est rectangle en $A$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$B C^{2} = B A^{2} + A C^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ Donc $BC = 5 cm \approx 2, 24 cm$ .

Le triangle $I J K$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$I J^{2} 5^{2} 5^{2} - 3^{2} 16 = I K^{2} + K J^{2} = 3^{2} + K J^{2} = K J^{2} = K J^{2}$ Donc $K J = 16 cm = 4 cm$ .

On considère le triangle $J K L$ ci-dessous.

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Calculer une valeur approchée de $J L$ .

Le triangle $J K L$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore. $J L^{2} J L^{2} J L^{2} J L^{2} = J K^{2} + K L^{2} = 3^{2} + 1, 4^{2} = 9 + 1, 96 = 10, 96$ Donc $J L = 10, 96 cm \approx 3, 31 cm$ .