Théorème de Pythagore

Connaître le théorème de Pythagore.
Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs des deux autres côtés.

Vocabulaire

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est le plus grand des trois côtés. On l’appelle hypoténuse du triangle.

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Les triangles ci-dessous sont rectangles. Pour chacun d’eux, indiquer l’angle droit ainsi que l’hypoténuse.

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Calculs dans un triangle rectangle

Égalité de Pythagore

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Autrement dit, dans un triangle $A B C$ rectangle en $A$ . On a $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$

Le triangle ci-dessous est rectangle. Écrire l’égalité de Pythagore associée.

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On a $M N^{2} = O M^{2} + N O^{2}$ .

Trois entiers vérifiant l’égalité de Pythagore ci-dessus sont appelés triplets pythagoriciens.

Calcul d’aires

Méthode

Dans un triangle rectangle, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. C’est une autre manière d’énoncer le théorème de Pythagore.

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Sur la figure ci-dessus, on retrouve l’égalité $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$ On peut donc utiliser ce théorème pour calculer des aires.

Calculer l’aire du troisième carré dans la figure ci-dessous

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Le triangle $T U V$ est rectangle en $T$ , donc d’après le théorème de Pythagore, $U V^{2} = V T^{2} + T U^{2}$ ce qui donne, en remplaçant : $20 cm² = 8 cm² + T U^{2}$ soit $T U^{2} = 12 cm²$ . Ainsi, l’aire du troisième carré vaut $12 cm²$ .

Calcul de longueurs

Définition

La racine carrée d’un nombre $a$ est le nombre (toujours positif) dont le carré est $a$ . On le note $a$ .

Les racines carrées suivantes sont à connaître : ce sont les (premiers) carrés parfaits.

$0 = 0$
$1 = 1$
$4 = 2$
$9 = 3$
$16 = 4$
$25 = 5$
$36 = 6$
$49 = 7$
$64 = 8$
$81 = 9$
$100 = 10$
$121 = 11$

À l’aide de la calculatrice, déterminer les racines carrées suivantes.

$6, 25 =$
$16, 81 =$
$2, 25 =$
$23 \approx$

$6, 25 = 2, 5$
$16, 81 = 4, 1$
$2, 25 = 1, 5$
$23 = 4, 8$

Méthode

Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore et la racine carrée.

Le triangle $A B C$ ci-contre est rectangle en $A$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$B C^{2} = B A^{2} + A C^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ Donc $B C = 5 cm \approx 2, 24 cm$ .

Le triangle $I J K$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$I J^{2} 5^{2} 5^{2} - 3^{2} 16 = I K^{2} + K J^{2} = 3^{2} + K J^{2} = K J^{2} = K J^{2}$ Donc $K J = 16 cm = 4 cm$ .

On considère le triangle $J K L$ ci-dessous.

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Calculer une valeur approchée de $J L$ .

Le triangle $J K L$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore. $J L^{2} J L^{2} J L^{2} J L^{2} = J K^{2} + K L^{2} = 3^{2} + 1, 4^{2} = 9 + 1, 96 = 10, 96$ Donc $J L = 10, 96 cm \approx 3, 31 cm$ .

Réciproque du théorème de Pythagore

On considère un triange $A B C$ . Si $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$ , alors $A B C$ est rectangle en $A$ .

La réciproque d’un théorème s’obtient en échangeant ses hypothèses et sa conclusion. Si un théorème s’énoncé Si Affirmation 1, alors Affirmation 2, alors sa réciproque s’énonce Si Affirmation 2, alors Affirmation 1.

Il arrive qu’un théorème soit vrai, mais que sa réciproque soit fausse (le théorème de Rolle par exemple).

Méthode

Soit $A B C$ un triangle dont le plus grand côté est $[B C]$ .

Si $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$ , alors $A B C$ est rectangle en $A$ .
Si $B C^{2} \neq = A B^{2} + C A^{2}$ , alors $A B C$ n’est pas rectangle en $A$ .

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Le côté le plus long est $[K I]$ .

D’une part :	D’autre part :
$= = K I^{2} 14, 2^{2} 201, 64$	$= = I S^{2} + S K^{2} 11, 3 6^{2} + 8, 5 2^{2} 201, 64$

$K I^{2} = I S^{2} + S K^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $S K I$ est rectangle.

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Le côté le plus long est $[M N]$ .

D’une part :	D’autre part :
$= = M N^{2} 2, 4^{2} 5, 76$	$= = N O^{2} + O M^{2} 1, 6^{2} + 1, 7^{2} 5, 45$

$M N^{2} \neq = N O^{2} + O M^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $M N O$ n’est pas rectangle.

Lorsque l’on conclue que le triangle n’est pas rectangle, on parle plutôt de contraposée du théorème de Pythagore.

On considère le triangle $D E F$ ci-dessous.

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Est-il rectangle ?

D’une part :	D’autre part :
$= = F E^{2} 5^{2} 25$	$= = F D^{2} + D E^{2} 3^{2} + 4^{2} 25$

$F E^{2} = F D^{2} + D E^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $D E F$ est rectangle.