Calcul littéral et équations

Effectuer des calculs littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.
Utiliser les identités remarquables dans les deux sens.
Manipuler des exemples simples de calcul expressions algébriques, en particulier sur des expressions fractionnaires.
Savoir décrire l’ensemble des solutions d’une équation.

Rappels

Règles de base

Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels et soit $n$ un entier naturel.

Opération	Notation
$a$ + $a$	$2 a$
$n fois a + \dots + a$	$na$
$a \times 2$ ou $2 \times a$	$2 a$
$a \times b$ ou $b \times a$	$ab$
$a \times a$	$a^{2}$
$n fois a \times \dots \times a$	$a^{n}$

Développement

Définition

Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en somme (ou en différence).

$5 (3 a - 1) = 5 \times 3 a + 5 \times (- 1) = 5 \times 3 a - 5 = 15 a - 5$

$(2 x + 3) (5 x + 7) = 2 x \times 5 x + 2 x \times 7 + 3 \times 5 x + 3 \times 7 = 10 x^{2} + 14 x + 15 x + 21 = 10 x^{2} + 29 x + 21$

Compléter en développant et en réduisant les expressions suivantes.

$(2 x - 1) x =$ .
$(x + 3) (x + 2) =$ .
$(1 + x) (x - 9) =$ .
$(- 2 x + 8) (4 - x) =$ .

$(2 x - 1) x = 2 x \times x - 1 \times x = 2 x^{2} - x$ .
$(x + 3) (x + 2) = x \times x + x \times 2 + 3 \times x + 3 \times 2 = x^{2} + 5 x + 6$ .
$(1 + x) (x - 9) = 1 \times x - 1 \times 9 + x \times x - x \times 9 = x^{2} - 8 x - 9$ .
$(- 2 x + 8) (4 - x) = - 2 x \times 4 - 2 x \times (- x) + 8 \times 4 - 8 \times x = 2 x^{2} - 16 x + 32$ .

Factorisation

Définition

Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme (ou une différence) en produit.

$85 r + 15 r = (85 + 15) r = 100 r$

$57 (b + 1) - 4 (b + 1) = (57 - 4) (b + 1) = 53 (b + 1)$

Compléter en factorisant les expressions suivantes.

$7 z + 9 z =$ .
$10 x - 10 y =$ .
$11 a + 11 b - 11 c =$ .
$4 x (y - 6) + 5 (y - 6) =$ .
$(x - 1) 5 x + 3 (x - 1) =$ .

$7 z + 9 z = z (7 + 9) = 16 z$ .
$10 x - 10 y = 10 (x - y)$ .
$11 a + 11 b - 11 c = 11 (a + b) - 11 c = 11 (a + b - c)$ .
$4 x (y - 6) + 5 (y - 6) = (4 x + 5) (y - 6)$ .
$(x - 1) 5 x + 3 (x - 1) = 5 x (x - 1) + 3 (x - 1) = (5 x + 3) (x - 1)$ .

Identités remarquables

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On a les égalités suivantes.

Forme factorisée	Forme développée
$(a + b)^{2}$	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2}$	$a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b)$	$a^{2} - b^{2}$

Développer les expressions suivantes.
1. $(- 2 x + 3)^{2} =$ .
2. $(3 t + 2) (3 t - 2) =$ .
3. $5 (x - 3)^{2} =$ .
Factoriser les expressions suivantes.
1. $16 x^{2} - 49 =$ .
2. $x^{2} + 12 x + 36 =$ .
3. $4 a^{2} + 4 a + 1 =$ .

1. $(- 2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 2 \times (- 2 x) \times 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .
2. $(3 t + 2) (3 t - 2) = (3 t)^{2} - 2^{2} = 9 t^{2} - 4$ .
3. $5 (x - 3)^{2} = 5 (x^{2} - 6 x + 9) = 5 x^{2} - 30 x + 45$ .
1. $16 x^{2} - 49 = (4 x)^{2} - 7^{2} = (4 x - 7) (4 x + 7)$ .
2. $x^{2} + 12 x + 36 = x^{2} + 2 \times x \times 6 + 6^{2} = (x + 6)^{2}$ .
3. $4 a^{2} + 4 a + 1 = (2 a)^{2} + 2 \times a \times 1 + 1^{2} = (2 a + 1)^{2}$ .

Équations

Équations du premier degré

Méthode

Pour résoudre une équation du premier degré (ie. dont l’exposant de l’inconnue est $1$ ), on isole l’inconnue d’un côté du symbole $=$ .

On veut résoudre l’équation $2 x - 1 = 0$ . On isole le $x$ du côté gauche du symbole $=$ : $⟺ ⟺ 2 x - 1 = 0 2 x = 1 x = \frac{1}{2}$ Donc $\frac{1}{2}$ est la solution de cette équation. On note ceci $S = {\frac{1}{2}}$ .

Résoudre les équations suivantes.

$- 5 x + 3 = - 3 x + 2$ .
$3 (x + 4) = - (x + 5) + 1$ .

$⟺ ⟺ - 5 x + 3 = - 3 x + 2 ⟺ - 2 x = - 1 x = \frac{1}{2} - 5 x + 3 x = 2 - 3$
$⟺ ⟺ ⟺ 3 (x + 4) = - (x + 5) + 1 ⟺ 3 x + x = - 5 + 1 - 12 4 x = - 16 x = - \frac{16}{4} = - 4 3 x + 12 = - x - 5 + 1$

Équations produit nul

Propriété

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

On veut résoudre l’équation $(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$ . C’est une équation de type produit nul, qui peut se traduire par : $⟺ ⟺ 3 x + 4 = 0 3 x = - 4 x = - \frac{4}{3} ou ⟺ ⟺ 2 x - 3 = 0 2 x = 3 x = \frac{3}{2}$ Donc $- \frac{4}{3}$ et $\frac{3}{2}$ sont les solutions de cette équation. On note ceci $S = {- \frac{4}{3}; \frac{3}{2}}$ .

Résoudre les équations suivantes.

$x (7 x + 2) = 0$ .
$(x + 3)^{2} = 0$ .
$x^{2} = 2 x$ .

$x (7 x + 2) = 0$ est une équation produit nul, que nous pouvons résoudre comme suit : $⟺ x = 0 ou ⟺ 7 x + 2 = 0 x = - \frac{7}{2}$ Il y a deux solutions : $- \frac{7}{2}$ et $0$ .
$(x + 3)^{2} = 0$ est une équation produit nul, mais plus simple ! $x + 3 = 0 ou x + 3 = 0$ Cela revient à résoudre simplement : $x + 3 = 0$ La seule solution est $x = 3$ .
Il faut transformer un peu l’expression : $x^{2} = 2 x ⟺ x^{2} - 2 x = 0 ⟺ (x - 2) x = 0$ $(x - 2) x = 0$ est une équation produit nul, que nous pouvons résoudre comme suit : $⟺ x - 2 = 0 x = 2 ou x = 0$ Il y a deux solutions : $0$ et $2$ .

Équations du type $x^{2} = a$

Propriété

Les solutions d’une équation du type $x^{2} = a$ dépendent du signe de $a$ .

Si $a > 0$ , l’équation a deux solutions : $- a$ et $a$ .
Si $a = 0$ , l’équation a une solution : $0$ .
Si $a < 0$ , l’équation n’a pas de solution.

L’équation $x^{2} = 9$ a deux solutions : $- 3$ et $3$ . On a $S = {- 3; 3}$ .

L’équation $x^{2} = - 1$ n’a pas de solution. On note ceci $S = \emptyset$ .

Résoudre, si possible, l’équation $- 5 x^{2} = - 125$ .

$- 5 x^{2} = - 125 ⟺ x^{2} = \frac{- 125}{- 5} = 25$ Cette équation admet deux solutions : $- 25 = - 5$ et $25 = 5$ .

Équations quotient

Définition

Les valeurs qui annulent le dénominateur d’une expression littérale fractionnaire sont appelées valeurs interdites.

Propriété

Si une fraction $\frac{A}{B}$ est nulle, alors $A = 0$ et $B \neq = 0$ .

On veut résoudre l’équation $\frac{x + 3}{x - 2} = 0$ . Alors $2$ est une valeur interdite. Pour $x \neq = 2$ , on a : $⟺ ⟺ \frac{x + 3}{x - 2} = 0 x + 3 = 0 x = - 3$ Donc $S = {- 3}$ .

Résoudre l’équation $\frac{( 3 x + 1 ) ( 1 - x )}{x ^{2} - 25} = 0$ en précisant la ou les valeurs interdites.

Pour trouver la ou les valeurs interdites, résolvons $x^{2} - 25 = 0$ . $⟺ ⟺ x^{2} - 25 = 0 x^{2} - 5^{2} = 0 (x - 5) (x + 5) = 0$ C’est une équation produit nul, dont l’ensemble de solutions est $S = {- 5; 5}$ . Les valeurs interdites sont donc $- 5$ et $5$ . Pour $x \neq = - 5$ et $x \neq = 5$ , on a : $⟺ \frac{( 3 x + 1 ) ( 1 - x )}{x ^{2} - 25} = 0 (3 x + 1) (1 - x) = 0$ C’est une équation produit nul : $⟺ 3 x + 1 = 0 x = - \frac{1}{3} ou ⟺ 1 - x = 0 x = 1$ L’ensemble des solutions est $S = {- \frac{1}{3}; 1}$ .