Droites du plan

Déterminer une équation de droite à partir de deux points, un point et un vecteur directeur ou un point et la pente.
Déterminer la pente ou un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation ou une représentation graphique.
Tracer une droite connaissant son équation cartésienne ou réduite.
Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.

Équations d’une droite

Vecteur directeur

Définition

On appelle vecteur directeur d’une droite tout vecteur qui suit la direction de celle-ci.

On se place dans le repère cartésien ci-contre. Pour chaque droite, donner les coordonnées d’un vecteur directeur.

$(d_{1})$ :
$(d_{2})$ :
$(d_{3})$ :

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$(11)$
$(1 - 1)$
$(13)$

Équation cartésienne

Définition

Soit $(d)$ une droite dont les coordonnées d’un vecteur directeur sont $(- b a)$ . Alors, un point de coordonnées $(x; y)$ appartient à $(d)$ si et seulement si on a $a x + b y + c = 0$ où $c \in R$ . Cette équation est appelée équation cartésienne de $(d)$ .

Un vecteur directeur de la droite $(d_{1})$ de l’exercice précédent est $(11)$ . Son équation cartésienne est donc de la forme $x - y + c = 0$ . Or, le point $A (0; 1)$ appartient à cette droite, donc $0 - 1 + c = 0 ⟺ c = 1$ . Une équation cartésienne de $(d_{1})$ est donc $x + y + 1 = 0$ .

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A (- 1; 2)$ et de vecteur directeur $u (14)$ .
Le point $B (0; 6)$ appartient-il à cette droite ?

Une équation cartésienne de cette droite est de la forme $4 x - y + c = 0$ où $c \in R$ . Pour déterminer $c$ , on sait que $A$ appartient à cette droite, et ses coordonnées vérifient donc l’équation cartésienne. Ainsi, on a $4 \times (- 1) - 2 + c = 0 ⟺ c = 6$ .
Il suffit de remplacer $x$ par $0$ et $y$ par $6$ dans l’équation cartésienne pour le vérifier : $4 \times 0 - 6 + 6 = 0$ On obtient bien $0$ , donc $B$ appartient à la droite.

Équation réduite

Définition

Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation cartésienne de la forme $y = m x + p$ . C’est son équation réduite.
Dans le cas d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées, son équation réduite est de la forme $x = k$ .

On considère la droite $(d)$ d’équation réduite $y = - \frac{2}{3} x + 2$ .

Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de $(d)$ .
Représenter $(d)$ dans le repère ci-contre.

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On a une équation cartésienne de la droite : $y = - \frac{2}{3} x + 2 ⟺ - \frac{2}{3} x - y + 2$ . Donc, un vecteur directeur de celle-ci est $(1 - \frac{2}{3})$ .
L’ordonnée à l’origine de $(d)$ est $2$ . Donc on peut tracer $(d)$ .

Remarque

Il y a un lien fort entre ce concept et celui des fonctions affines : la représentation graphique d’une fonction affine $x \mapsto m x + p$ est la droite d’équation réduite $y = m x + p$ . Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.

Propriété

On considère la droite $(d)$ d’équation $y = m x + p$ .

Le vecteur de coordonnées $(1 m)$ est un vecteur directeur de cette droite. Ainsi :
- Si $m > 0$ , la droite $(d)$ monte.
- Si $m < 0$ , la droite $(d)$ descend.
- Si $m = 0$ , la droite $(d)$ est horizontale.
Le point d’intersection de $(d)$ avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées $(0; p)$ . C’est pour cette raison que $p$ est appelé ordonnée à l’origine.

On a représenté une droite $(d)$ ci-contre. Déterminer son équation réduite.

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Un vecteur directeur de $(d)$ est $(1 - 1)$ . Donc $m = - 1$ . Le point d’intersection de $(d)$ avec l’axe des ordonnées est $(0, - 2)$ . Donc $p = - 2$ . Ainsi, l’équation réduite de $(d)$ est $y = - x - 2$

Intersection de deux droites

Parallélisme

Propriété

Soient $(d_{1})$ et $(d_{2})$ deux droites. On note :

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ une équation cartésienne et $m_{1} x + p_{1} = 0$ une équation réduite de $(d_{1})$ .
$a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ une équation cartésienne et $m_{2} x + p_{2} = 0$ une équation réduite de $(d_{2})$ .

On a les relations suivantes.

Position des droites	Vecteurs directeurs	Équations cartésiennes	Équations réduites
Parallèles	Colinéaires	$a_{1} = k \times a_{2}$ et $b_{1} = k \times b_{2}$	$m_{1} = m_{2}$
Confondues	Colinéaires et de même origine	$a_{1} = k \times a_{2}$ , $b_{1} = k \times b_{2}$ et $c_{1} = k \times c_{2}$	$m_{1} = m_{2}$ et $p_{1} = p_{2}$
Sécantes	Non colinéaires	Pas de proportionnalité	$m_{1} \neq = m_{2}$

Étudier les positions relatives des droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ d’équations cartésiennes respectives $4 x - 3 y + 1 = 0$ et $- 2 x + y + 3 = 0$ .

Il y a plusieurs manières de faire. On peut utiliser les vecteurs directeurs.

Un vecteur directeur directeur de $(d_{1})$ est $u (34)$ .
Un vecteur directeur directeur de $(d_{2})$ est $v (- 1 - 2)$ .

On calcule $det (u; v)$ : $det (u; v) = 3 \times (- 2) - 4 \times (- 1) = - 6 + 4 = - 2 \neq = 0$ $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires, donc les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont sécantes.

Coordonnées du point d’intersection

Définition

On appelle système linéaire à $2$ équations en $2$ inconnues un ensemble de deux équations de la forme ${a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ où $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ sont des constantes réelles. Une solution à ce système est un couple $(x; y)$ qui vérifie les deux équations.

Vérifier que $(- 3; 5)$ est solution du système ${2 x + 3 y - 9 = 0 - x + 2 y - 13 = 0$

On remplace $x$ par $- 3$ et $y$ par $5$ dans la première ligne : $2 \times (- 3) + 3 \times 5 - 9 = - 6 + 15 - 9 = 0$ et dans la deuxième ligne : $- (- 3) + 2 \times 5 - 13 = 3 + 10 - 13 = 0$ Les deux donnent bien $0$ : donc $(- 3; 5)$ est solution du système.

Propriété

Soient $(d_{1})$ et $(d_{2})$ deux droites d’équations cartésiennes respectives $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ et $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ . On considère le système d’équations $(S) : {a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ .

$(S)$ admet une unique solution $(x; y)$ si et seulement si $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont sécantes en le point de coordonnées $(x; y)$ .
$(S)$ n’admet pas de solution si et seulement si $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont strictement parallèles.
$(S)$ admet une infinité de solutions si et seulement si $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont confondues.

Que peut-on dire des droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ d’équations cartésiennes respectives $2 x + 3 y - 9 = 0$ et $- x + 2 y - 13 = 0$ ?

D’après l’exercice précédent, ces deux droites sont sécantes en le point de coordonnées $(- 3; 5)$ .

Méthode

La méthode de résolution par substitution consiste à isoler une des inconnues dans une des équations, puis à remplacer cette expression dans l’autre équation. On obtient alors la valeur d’une inconnue, qu’il suffit de remplacer dans la première équation pour trouver la valeur de la seconde inconnue.

Résoudre le système ${4 x - 3 y + 1 = 0 - 2 x + y + 3 = 0$ par substitution.

${4 x - 3 y + 1 = 0 - 2 x + y + 3 = 0 ⟺ {4 x - 3 y + 1 = 0 y = 2 x - 3 ⟺ {4 x - 3 \times (2 x - 3) + 1 = 0 y = 2 x - 3 ⟺ {- 2 x + 10 = 0 y = 2 x - 3 ⟺ {x = 5 y = 2 x - 3 ⟺ {x = 5 y = 2 \times 5 - 3 ⟺ {x = 5 y = 7$ Donc, l’ensemble solution est $S = {5; 7}$ .

Méthode

La méthode de résolution par combinaison consiste à multiplier ou à diviser les lignes par des nombres de telle manière qu’en additionnant les équations, une inconnue s’élimine. Pour trouver la seconde inconnue, on peut renouveler la même méthode.

Résoudre le système ${3 x - 2 y + 1 = 0 - 2 x + 4 y = 3$ par combinaison.

Numérotons les lignes. ${3 x - 2 y + 1 = 0 - 2 x + 4 y = 3 L_{1} L_{2}$ Pour éliminer $x$ , on multiplie par $3$ la ligne $L_{2}$ et on additionne $2 \times L_{1}$ . On obtient : ${3 x - 2 y + 1 = 0 - 6 x + 12 y + 6 x - 4 y + 2 = 9 + 0 L_{1} 3 L_{2} + 2 L_{1} ⟺ {3 x - 2 y = 0 8 y = 7 L_{1} 3 L_{2} + 2 L_{1}$ Ainsi, on a $y = \frac{7}{8}$ .

Pour éliminer $y$ , on multiplie par $2$ la ligne $L_{1}$ et on additionne $L_{2}$ . On obtient : ${6 x - 4 y + 2 - 2 x + 4 y = 0 + 3 - 2 x + 4 y = 3 2 L_{1} + L_{2} L_{2} ⟺ {4 x + 2 = 3 - 2 x + 4 y = 3 2 L_{1} + L_{2} L_{2}$ Ainsi, on a $x = \frac{1}{4}$ . Donc, l’ensemble solution est $S = {\frac{1}{4}; \frac{7}{8}}$ .