Géométrie repérée

Connaître la notion de base orthonormée. Savoir y lire les coordonnées d’un vecteur et donner l’expression de la norme d’un vecteur.
Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
Connaître l’expression des coordonnées de $A B$ en fonction de celles de $A$ et de $B$ .
Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
Savoir calculer le déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, et connaître le lien avec la colinéarité.
Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.

Repères du plan

Bases du plan

Définition

Soient $i$ et $j$ deux vecteurs non colinéaires. Le couple $(i; j)$ forme une base du plan.

Si les directions de $i$ et $j$ sont perpendiculaires, la base $(i; j)$ est dite orthogonale.
Si de plus $∥ i ∥ = ∥ j ∥$ , la base $(i; j)$ est dite orthonormée.

Parmi les bases ci-dessous, dire lesquelles sont orthogonales, orthonormées ou ne le sont pas.

C’est une base orthonormée.
C’est une base orthogonale.
C’est une base orthogonale.
Ce n’est ni une base orthonormée, ni une base orthogonale.
C’est une base orthogonale.

Coordonnées d’un vecteur

Propriété

Soit $(i; j)$ une base du plan. Tout vecteur $u$ du plan se décompose de manière unique sous la forme $u = x i + y j$ où $x$ et $y$ sont deux nombres réels. $(x y)$ (parfois également noté $(x; y)$ ) sont les coordonnées de $u$ . Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes coordonnées.

Pour chacun des vecteurs ci-dessous, lire ses coordonnées dans la base $(i; j)$ .
1. $a$ :
2. $b$ :
3. $i$ :
4. $j$ :
Représenter le vecteur $c (1 - 2)$ .

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1. $a$ : $(11)$ .
2. $b$ : $(- 2 1)$ .
3. $i$ : $(10)$ .
4. $j$ : $(01)$ .

Coordonnées d’un point

Définition

On appelle repère cartésien un triplet $(O; i; j)$ constitué par les vecteurs d’une base $(i; j)$ et par un point $O$ du plan appelé origine.
Si la base $(i; j)$ est orthonormée, le repère $(O; i; j)$ est également qualifié d’orthonormé.
La droite $(O i)$ est l’axe des abscisses et $(O j)$ est l’axe des ordonnées.
Les coordonnées d’un point $M$ du plan sont les coordonnées du vecteur $OM$ dans la base $(i; j)$ .

Pour toute la suite, sauf mention contraire, on se place dans un repère cartésien $(O; i; j)$ .

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Dans le repère orthonormé ci-contre (où l’on a indiqué l’origine, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées), les coordonnées du vecteur $OM$ sont $(- 2 1)$ , donc les coordonnées du point $M$ sont $(- 2; 1)$ .

Propriété

Soient $A (x_{A}; x_{B})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ deux points du plan.

Le milieu du segment $[A B]$ a pour coordonnées $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Le vecteur $A B$ a pour coordonnées $(x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$

Soient $A (3; 5)$ , $B (2; - 1)$ , $C (- 2; - 4)$ et $D (- 1; 2)$ .

1. Calculer les coordonnées de $E$ , milieu de $[A B]$ .
2. Calculer les coordonnées de $F$ , milieu de $[C D]$ .
Montrer que $EF D A$ est un parallélogramme.

1. Les coordonnées de $E$ sont $(\frac{3 + 2}{2}; \frac{5 - 1}{2}) = (2, 5; 2)$ .
2. Les coordonnées de $F$ sont $(\frac{- 2 - 1}{2}; \frac{- 4 + 2}{2}) = (- 1, 5; - 1)$ .
Les coordonnées du vecteur $EF$ sont $(- 1, 5 - 2, 5 - 1 - 2) = (- 4 - 3)$ et les coordonnées du vecteur $A D$ sont $(- 1 - 3 2 - 5) = (- 4 - 3)$ Les vecteurs $EF$ et $A D$ sont égaux, donc $EF D A$ est un parallélogramme.

Utilisation des coordonnées

Opérations sur les vecteurs

Propriété

Soient $u (x y)$ , $v (x^{'} y^{'})$ deux vecteurs du plan et $k$ un nombre réel. Les coordonnées de $u + v$ sont $(x + x^{'} y + y^{'})$ et celles de $k u$ sont $(k x k y)$ .

Soient trois vecteurs $u (70)$ , $v (- 5 3)$ et $w (1 - 3)$ . Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.

$u + v$ :
$- 2 v$ :
$3 w - 2 u$ :

$(7 - 5 0 + 3) = (23)$ .
$((- 2) \times (- 5) (- 2) \times 3) = (10 - 6)$ .
$(3 \times 1 - 2 \times 7 3 \times (- 3) - 2 \times 0) = (- 11 - 9)$ .

Calcul de la norme

Propriété

Soit $u (x y)$ un vecteur du plan. On suppose le repère $(O, i, j)$ orthonormé. Alors, $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$

Soient deux points $A (- 1; 1)$ et $B (3; 4)$ . On suppose le repère $(O, i, j)$ orthonormé. Calculer $A B$ .

On a $A B = ∥ A B ∥$ . Or, les coordonnées de $A B$ sont $(3 - (- 1) 4 - 1) = (4 3 - 1)$ Donc, $A B = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5$

Condition de colinéarité

Définition

Soient $u (x y)$ , $v (x^{'} y^{'})$ deux vecteurs du plan. On appelle déterminant de $u$ et $v$ le nombre $det (u; v) = x y^{'} - x^{'} y$

Par exemple, avec $u (- 1 3)$ et $v (2 - 6)$ , on a

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Il s’agit d’une sorte de généralisation du produit en croix.

Propriété

Soient $u$ , $v$ deux vecteurs du plan. Alors $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $det (u; v) = 0$ .

Dans le repère ci-contre, placer les points $A (- 2; - 1)$ , $B (2; - 3)$ , $C (- 4; 4)$ et $D (4; 0)$ .
Montrer que les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles.
Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier par un calcul.

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Calculons les coordonnées de $A B$ : $(2 - (- 2) - 3 - (- 1)) = (4 - 2)$ et calculons les coordonnées de $C D$ : $(4 - (- 4) 0 - 4) = (8 - 4)$ Enfin, $det (A B, C D) = 4 \times (- 4) - 8 \times (- 2) = 0$ Les vecteurs $A B$ et $C D$ sont colinéaires, donc les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles.
Calculons les coordonnées de $A C$ : $(- 4 - (- 2) 4 - (- 1)) = (- 2 5)$ Enfin, $det (A B, A C) = 4 \times 5 - (- 2) \times (- 2) = 16$ Les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires, donc les droites $(A B)$ et $(A C)$ ne sont pas parallèles.